En la teoría algebraica de números , el teorema de Ferrero-Washington , probado primero por Ferrero y Washington (1979) y luego por Sinnott (1984) , establece que el invariante μ de Iwasawa desaparece para las extensiones ciclotómicas Z p de los campos numéricos algebraicos abelianos .
Historia
Iwasawa (1959) introdujo el invariante μ de una extensión Z p y observó que era cero en todos los casos que calculó. Iwasawa y Sims (1966) usaron una computadora para verificar que se desvanece para la extensión ciclotómica Z p de los racionales para todos los primos menores que 4000. Iwasawa (1971) conjeturó más tarde que el invariante μ desaparece para cualquier extensión Z p , pero poco después, Iwasawa (1973) descubrió ejemplos de extensiones no ciclotómicas de campos numéricos con invariante μ que no desaparece, lo que demuestra que su conjetura original era incorrecta. Sin embargo, sugirió que la conjetura podría ser válida para las extensiones ciclotómicas Z p .
Iwasawa (1958) mostró que la desaparición del invariante μ para las extensiones ciclotómicas Z p de los racionales es equivalente a ciertas congruencias entre los números de Bernoulli , y Ferrero y Washington (1979) mostraron que el invariante μ se desvanece en estos casos al demostrar que se cumplen estas congruencias.
Declaración
Para un campo numérico K, dejamos que K m denote la extensión por p m - raíces de potencia de la unidad,la unión de K m y A ( p ) la extensión p abeliana no ramificada máxima de. Deje que el módulo Tate
Entonces T p ( K ) es un pro- p -group y por lo que un Z p -módulo. Usando la teoría de campo de clases, uno puede describir T p ( K ) como isomorfo al límite inverso de los grupos de clases C m de la K m bajo la norma. [1]
Iwasawa exhibió T p ( K ) como un módulo sobre la terminación Z p [[ T ]] y esto implica una fórmula para el exponente de p en el orden de los grupos de clases C m de la forma
El teorema de Ferrero-Washington establece que μ es cero. [2]
Referencias
- ^ Manin y Panchishkin 2007 , p. 245
- ^ Manin y Panchishkin 2007 , p. 246
- Ferrero, Bruce ; Washington, Lawrence C. (1979), "El invariante de Iwasawa μ p desaparece para campos numéricos abelianos", Annals of Mathematics , Second Series, 109 (2): 377–395, doi : 10.2307 / 1971116 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971116 , MR 0528968 , Zbl 0.443,12001
- Iwasawa, Kenkichi (1958), "On some invariants of cyclotomic fields", American Journal of Mathematics , 81 (3): 773–783, doi : 10.2307 / 2372857 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372782 , MR 0124317(Y corrección JSTOR 2372857 )
- Iwasawa, Kenkichi (1959), "Sobre extensiones Γ de campos numéricos algebraicos", Boletín de la American Mathematical Society , 65 (4): 183–226, doi : 10.1090 / S0002-9904-1959-10317-7 , ISSN 0002 -9904 , MR 0124316
- Iwasawa, Kenkichi (1971), "Sobre algunas extensiones abelianas infinitas de campos numéricos algebraicos" , Actes du Congrès International des Mathématiciens (Niza, 1970), tomo 1 , Gauthier-Villars, págs. 391-394, MR 0422205
- Iwasawa, Kenkichi (1973), "Sobre los invariantes μ de las extensiones Z1" , Teoría de números, geometría algebraica y álgebra conmutativa, en honor a Yasuo Akizuki , Tokio: Kinokuniya, págs. 1-11, MR 0357371
- Iwasawa, Kenkichi ; Sims, Charles C. (1966), "Computación de invariantes en la teoría de campos ciclotómicos", Revista de la Sociedad Matemática de Japón , 18 : 86–96, doi : 10.2969 / jmsj / 01810086 , ISSN 0025-5645 , MR 0202700
- Manin, Yu. Yo ; Panchishkin, AA (2007), Introducción a la teoría de números moderna , Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 49 (Segunda ed.), ISBN 978-3-540-20364-3, ISSN 0938-0396 , Zbl 1079.11002
- Sinnott, W. (1984), "Sobre el invariante μ de la transformada Γ de una función racional", Inventiones Mathematicae , 75 (2): 273-282, doi : 10.1007 / BF01388565 , ISSN 0020-9910 , MR 0732547 , Zbl 0531.12004