Integración a lo largo de las fibras

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En geometría diferencial , la integración a lo largo de las fibras de una forma k produce una forma donde m es la dimensión de la fibra, a través de la "integración".${\ estilo de visualización (km)}$

Sea un haz de fibras sobre una variedad con fibras orientadas compactas. Si es una forma k en E , entonces para los vectores tangentes w _i está en b , sea${\ estilo de visualización \ pi: E \ a B}$${\ estilo de visualización \ alfa}$

dónde está la forma superior inducida en la fibra ; es decir, una forma dada por: con ascensores de a E ,${\ estilo de visualización \ beta}$${\ estilo de visualización \ pi ^ {-1} (b)}$${\ estilo de visualización m}$${\displaystyle {\widetilde {w_{i}}}}$${\ estilo de visualización w_ {i}}$

(Para ver si es uniforme, búscalo en coordenadas; cf. un ejemplo a continuación).${\displaystyle b\mapsto (\pi _{*}\alpha )_{b}}$

Entonces es un mapa lineal . Por la fórmula de Stokes, si las fibras no tienen límites (es decir ), el mapa desciende a la cohomología de De Rham :${\ estilo de visualización \ pi _ {*}}$${\ Displaystyle \ Omega ^ {k} (E) \ a \ Omega ^ {km} (B)}$${\ estilo de visualización [d, \ int] = 0}$

Ahora, supongamos que es un haz de esferas ; es decir, la fibra típica es una esfera. Entonces hay una secuencia exacta , K el núcleo, que conduce a una secuencia exacta larga, eliminando el coeficiente y usando :${\ estilo de visualización \ pi}$ ${\displaystyle 0\to K\to \Omega ^{*}(E){\overset {\pi_{*}}{\to }}\Omega ^{*}(B)\to 0}$${\ estilo de visualización \ mathbb {R}}$${\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(B)\simeq \operatorname {H} ^{k+m}(K)}$

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