En matemáticas , de Rham cohomology (el nombre de Georges de Rham ) es una herramienta que pertenece tanto a la topología algebraica y a la topología diferencial , capaz de expresar información topológica básica sobre múltiples lisos en una forma particularmente adaptado para el cálculo y la representación concreta de las clases de cohomología . Es una teoría de la cohomología basada en la existencia de formas diferenciales con propiedades prescritas.
Todas las formas exactas son cerradas, pero lo contrario no es necesariamente cierto. Por otro lado, existe una relación entre la falta de exactitud y la existencia de "agujeros". Los grupos de cohomología de De Rham son un conjunto de invariantes de variedades suaves que hacen que la relación antes mencionada sea cuantitativa, [1] y se discutirán en este artículo.
El concepto de integración de formas es de fundamental importancia en topología diferencial, geometría y física, y también produce uno de los ejemplos más importantes de cohomología , a saber, la cohomología de De Rham , que (en términos generales) mide precisamente el grado en que el teorema fundamental de el cálculo falla en dimensiones superiores y en variedades generales.
- Terence Tao , Formas diferenciales e integración [2]
Definición
El complejo de Rham es el complejo cocadena de formas diferenciales en alguna variedad suave M , con la derivada exterior como diferencial:
donde Ω 0 ( M ) es el espacio de funciones suaves en M , Ω 1 ( M ) es el espacio de formas 1 , y así sucesivamente. Las formas que son la imagen de otras formas bajo la derivada exterior , más la función constante 0 en Ω 0 ( M ) , se llaman exactas y las formas cuya derivada exterior es 0 se llaman cerradas (ver Formas diferenciales cerradas y exactas ); la relación d 2 = 0 entonces dice que las formas exactas son cerradas.
Por el contrario, las formas cerradas no son necesariamente exactas. Un caso ilustrativo es un círculo como una variedad, y la forma 1 corresponde a la derivada del ángulo desde un punto de referencia en su centro, típicamente escrito como dθ (descrito en Formas diferenciales cerradas y exactas ). No hay ninguna función θ definida en todo el círculo tal que dθ sea su derivada; el aumento de 2 π en vez de ir alrededor del círculo en la dirección positiva implica una función de varios valores θ . La eliminación de un punto del círculo evita esto, al mismo tiempo que cambia la topología del colector.
La idea detrás de la cohomología de De Rham es definir clases de equivalencia de formas cerradas en una variedad. Se clasifican dos formas cerradas α , β ∈ Ω k ( M ) como cohomólogas si difieren en una forma exacta, es decir, si α - β es exacta. Esta clasificación induce una relación de equivalencia en el espacio de formas cerradas en Ω k ( M ) . Luego se define el grupo de cohomología k -th de Rham ser el conjunto de clases de equivalencia, es decir, el conjunto de formas cerradas en Ω k ( M ) módulo las formas exactas.
Tenga en cuenta que, para cualquier colector M compuesto por m componentes desconectados, cada uno de los cuales está conectado , tenemos que
Esto se deduce del hecho de que cualquier función suave en M con el derivado de cero en todas partes es constante por separado en cada uno de los componentes conectados de M .
Cohomología de De Rham calculada
A menudo se pueden encontrar las cohomologías generales de De Rham de una variedad utilizando el hecho anterior sobre la cohomología cero y una secuencia de Mayer-Vietoris . Otro dato útil es que la cohomología de De Rham es una homotopía invariante. Si bien no se proporciona el cálculo, las siguientes son las cohomologías de De Rham calculadas para algunos objetos topológicos comunes :
La n- esfera
Para la n- esfera ,, y también cuando se toma junto con un producto de intervalos abiertos, tenemos lo siguiente. Sea n > 0, m ≥ 0 , y yo sea un intervalo real abierto. Luego
El n- torus
La -torus es el producto cartesiano: . Del mismo modo, permitir aquí obtenemos
También podemos encontrar generadores explícitos para la cohomología de De Rham del toro directamente usando formas diferenciales. Dado un cociente múltiple y una forma diferencial podemos decir eso es -invariante si se le da algún difeomorfismo inducido por, tenemos . En particular, el retroceso de cualquier forma en es -invariante. Además, el retroceso es un morfismo inyectivo. En nuestro caso de las formas diferenciales están -invariante desde . Pero, note que por no es invariante -formulario. Esto con inyectividad implica que
Dado que el anillo de cohomología de un toro es generado por , tomar los productos exteriores de estas formas da todos los representantes explícitos de la cohomología de De Rham de un toro.
Espacio euclidiano perforado
El espacio euclidiano perforado es simplemente con el origen eliminado.
La tira de Möbius
Podemos deducir del hecho de que la tira de Möbius , M , puede ser una deformación retraída a la esfera 1 (es decir, el círculo unitario real), que:
Teorema de de Rham
El teorema de Stokes es una expresión de dualidad entre la cohomología de De Rham y la homología de cadenas . Dice que el emparejamiento de formas y cadenas diferenciales, a través de la integración, da un homomorfismo de la cohomología de De Rhama grupos de cohomología singulares El teorema de De Rham , probado por Georges de Rham en 1931, establece que para una variedad suave M , este mapa es de hecho un isomorfismo .
Más precisamente, considere el mapa
definido de la siguiente manera: para cualquier , sea yo ( ω ) el elemento de que actúa de la siguiente manera:
El teorema de de Rham afirma que se trata de un isomorfismo entre la cohomología de De Rham y la cohomología singular.
El producto exterior dota a la suma directa de estos grupos de una estructura anular . Otro resultado del teorema es que los dos anillos de cohomología son isomorfos (como anillos graduados ), donde el producto análogo en la cohomología singular es el producto de copa .
Isomorfismo de Rham teórico de la gavilla
La cohomología de Rham es isomorfa a la cohomología Čech , dónde es la gavilla de grupos abelianos determinada por para todos los conjuntos abiertos conectados , y para sets abiertos tal que , el morfismo grupal viene dado por el mapa de identidad en y donde es una buena tapa abierta de (es decir, todos los conjuntos abiertos en la cubierta abierta son contractibles hasta un punto, y todas las intersecciones finitas de conjuntos enestán vacíos o contraíbles hasta cierto punto). En otras palabrases la gavilla constante dada por la gavillada de la gavilla constante asignando.
Dicho de otra manera, si es un colector compacto C m +1 de dimensiones, luego para cada , hay un isomorfismo
donde el lado izquierdo es el -th de Rham cohomology group y el lado derecho es la cohomology Čech para la gavilla constante con fibra
Prueba
Dejar denotar el haz de gérmenes de-formas en (con la gavilla de funciones en ). Según el lema de Poincaré , la siguiente secuencia de gavillas es exacta (en la categoría de gavillas):
Esta secuencia ahora se divide en secuencias breves y exactas.
Cada uno de estos induce una secuencia larga y exacta en cohomología. Desde la gavilla defunciones en una multiplicidad admite particiones de unidad , la gavilla-cohomología desaparece para . Por tanto, las secuencias largas de cohomología exacta se separan en última instancia en una cadena de isomorfismos. En un extremo de la cadena se encuentra la cohomología Čech y en el otro se encuentra la cohomología de Rham.
Ideas relacionadas
La cohomología de De Rham ha inspirado muchas ideas matemáticas, incluida la cohomología de Dolbeault , la teoría de Hodge y el teorema del índice de Atiyah-Singer . Sin embargo, incluso en contextos más clásicos, el teorema ha inspirado una serie de desarrollos. En primer lugar, la teoría de Hodge prueba que existe un isomorfismo entre la cohomología formada por formas armónicas y la cohomología de De Rham formada por formas cerradas módulo formas exactas. Esto se basa en una definición apropiada de formas armónicas y del teorema de Hodge. Para obtener más detalles, consulte la teoría de Hodge .
Formas armónicas
Si M es una variedad compacta de Riemann , entonces cada clase de equivalencia encontiene exactamente una forma armónica . Es decir, cada miembro de una clase de equivalencia dada de formas cerradas se puede escribir como
dónde es exacto y es armónico: .
Cualquier función armónica en una variedad Riemanniana conectada compacta es una constante. Por tanto, este elemento representativo particular puede entenderse como un extremo (un mínimo) de todas las formas cohomólogamente equivalentes en el colector. Por ejemplo, en un 2 - toro , uno puede imaginar un constante 1 -forma como uno donde todo el "pelo" se peina de forma ordenada en la misma dirección (y todos los "cabello" que tienen la misma longitud). En este caso, hay dos peinados cohomológicamente distintos; todos los demás son combinaciones lineales. En particular, esto implica que el primer número Betti de un 2 -torus es dos. De manera más general, en un-toro dimensional , se pueden considerar las diversas combinaciones de -formas en el toro. Existen escoger tales combinados que se pueden utilizar para formar los vectores base para ; la-th número Betti para el grupo de cohomología de Rham para el -torus es así escoger .
Más precisamente, para un colector diferencial M , se puede equipar con alguna métrica auxiliar de Riemann . Entonces el laplaciano es definido por
con la derivada exterior yel codiferencial . El laplaciano es un operador diferencial lineal homogéneo (en clasificación ) que actúa sobre el álgebra exterior de formas diferenciales : podemos observar su acción en cada componente de grado. por separado.
Si es compacta y orientada , la dimensión del núcleo del Laplaciano que actúa sobre el espacio de las formas k es entonces igual (según la teoría de Hodge ) a la del grupo de cohomología de De Rham en grados: el laplaciano escoge una forma armónica única en cada clase de cohomología de formas cerradas . En particular, el espacio de todos los armónicos-formas en es isomorfo a La dimensión de cada uno de estos espacios es finita y viene dada por -th Betti número .
Descomposición de Hodge
Dejar ser una variedad Riemanniana de orientación compacta . La descomposición de Hodge establece que cualquier -formular en se divide de forma única en la suma de tres componentes L 2 :
dónde es exacto, es co-exacto, y es armónico.
Se dice que una forma está co-cerrado si y co-exacto si de alguna forma , y eso es armónico si el laplaciano es cero, . Esto se sigue al señalar que las formas exactas y co-exactas son ortogonales; el complemento ortogonal consta entonces de formas cerradas y cocerradas: es decir, formas armónicas. Aquí, la ortogonalidad se define con respecto al producto interno L 2 en:
Mediante el uso de espacios o distribuciones de Sobolev , la descomposición puede extenderse, por ejemplo, a una variedad Riemanniana completa (orientada o no). [3]
Ver también
- Teoría de Hodge
- Integración a lo largo de las fibras (para la cohomología de De Rham, el empuje hacia adelante viene dado por la integración )
Citas
- ↑ Lee , 2013 , p. 440.
- ^ Terence, Tao. "Formas diferenciales e integración" (PDF) . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Jean-Pierre Demailly, Geometría diferencial y analítica compleja Capítulo VIII, § 3.
Referencias
- Lee, John M. (2013). Introducción a los colectores lisos . Springer-Verlag . ISBN 978-1-4419-9981-8.
- Bott, Raoul ; Tu, Loring W. (1982), Formas diferenciales en topología algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90613-3
- Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523
- Warner, Frank (1983), Fundamentos de colectores diferenciables y grupos de mentiras , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90894-6
enlaces externos
- Idea del proyecto De Rham Cohomology in Mathifold
- "Cohomology De Rham" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]