En matemáticas , la aritmética de campos es una materia que estudia las interrelaciones entre las propiedades aritméticas de un campo y su grupo absoluto de Galois . Es una materia interdisciplinaria ya que utiliza herramientas de la teoría algebraica de números , la geometría aritmética , la geometría algebraica , la teoría de modelos , la teoría de grupos finitos y la teoría de grupos finitos .
Sea K un campo y sea G = Gal( K ) su grupo absoluto de Galois. Si K es algebraicamente cerrado , entonces G = 1. Si K = R son los números reales, entonces
Aquí C es el campo de números complejos y Z es el anillo de números enteros. Un teorema de Artin y Schreier afirma que (esencialmente) estas son todas las posibilidades para grupos finitos absolutos de Galois.
Teorema de Artin-Schreier. Sea K un campo cuyo grupo absoluto de Galois G es finito. Entonces K es separablemente cerrado y G es trivial o K es real cerrado y G = Z / 2 Z.
Algunos grupos profinitos ocurren como el grupo absoluto de Galois de campos no isomorfos. Un primer ejemplo de esto es
Este grupo es isomorfo al grupo absoluto de Galois de un campo finito arbitrario . Además, el grupo absoluto de Galois del campo de la serie formal C de Laurent (( t )) sobre los números complejos es isomorfo a ese grupo.