Campo cerrado real

En matemáticas , un campo cerrado real es un campo F que tiene las mismas propiedades de primer orden que el campo de los números reales . Algunos ejemplos son el campo de los números reales, el campo de los números algebraicos reales y el campo de los números hiperreales .

Si F es un campo ordenado, el teorema de Artin-Schreier establece que F tiene una extensión algebraica, llamada cierre real K de F , tal que K es un campo cerrado real cuya ordenación es una extensión de la ordenación dada en F , y es único hasta un isomorfismo único de campos idénticos en F ^[2] (tenga en cuenta que todo homomorfismo de anillo entre campos cerrados reales automáticamente conserva el orden , porque x ≤ y si y solo si ∃ z :y = x + z ² ). Por ejemplo, la clausura real del campo ordenado de los números racionales es el campo de los números algebraicos reales. El teorema lleva el nombre de Emil Artin y Otto Schreier , quienes lo demostraron en 1926. $\mathbb {R} _{\mathrm {alg} }$

Si ( F , P ) es un campo ordenado, y E es una extensión de Galois de F , entonces por el lema de Zorn hay una extensión máxima de campo ordenado ( M , Q ) con M un subcampo de E que contiene F y el orden en M se extiende pag _ Esta M , junto con su ordenante Q , se denomina clausura real relativa de ( F , P ) en E . Llamamos ( F, P ) cerrado real relativo a E si M es simplemente F . Cuando E es el cierre algebraico de F , el cierre real relativo de F en E es en realidad el cierre real de F descrito anteriormente. ^[3]

Si F es un campo (no se supone un orden compatible con las operaciones de campo, ni se supone que F es ordenable), entonces F todavía tiene un cierre real, que puede que ya no sea un campo, sino solo un anillo cerrado real . Por ejemplo, el cierre real del campo es el anillo (las dos copias corresponden a los dos ordenamientos de ). Por otro lado, si se considera como un subcampo ordenado de , su cierre real es nuevamente el campo . $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ $\mathbb {R}_{\mathrm {alg} }\!\times \mathbb {R}_{\mathrm {alg} }$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R}}$ $\mathbb {R} _{\mathrm {alg} }$