Rosa (topología)
En matemáticas , una rosa (también conocida como ramo de n círculos ) es un espacio topológico obtenido al unir una colección de círculos a lo largo de un solo punto. Los círculos de la rosa se llaman pétalos . Las rosas son importantes en la topología algebraica , donde están estrechamente relacionadas con los grupos libres .
Una rosa es una suma cuña de círculos . Es decir, la rosa es el espacio cociente C / S , donde C es una unión disjunta de círculos y S un conjunto formado por un punto de cada círculo. Como complejo de celdas , una rosa tiene un solo vértice y un borde para cada círculo. Esto lo convierte en un ejemplo simple de un gráfico topológico .
También se puede obtener una rosa con n pétalos identificando n puntos en un solo círculo. La rosa con dos pétalos se conoce como la figura ocho .
El grupo fundamental de una rosa es libre , con un generador por cada pétalo. La cubierta universal es un árbol infinito, que se puede identificar con el gráfico de Cayley del grupo libre. (Este es un caso especial del complejo de presentación asociado a cualquier presentación de un grupo ).
Las cubiertas intermedias de la rosa corresponden a subgrupos del grupo libre. La observación de que cualquier cubierta de una rosa es un gráfico proporciona una prueba simple de que todo subgrupo de un grupo libre es libre (el teorema de Nielsen-Schreier )
Debido a que la cubierta universal de una rosa es contráctil , la rosa es en realidad un espacio de Eilenberg-MacLane para el grupo libre asociado F. Esto implica que los grupos de cohomología H n ( F ) son triviales para n ≥ 2.
