En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , el espacio cociente de un espacio topológico bajo una relación de equivalencia dada es un nuevo espacio topológico construido dotando al conjunto de cocientes del espacio topológico original con la topología cociente , es decir, con la topología más fina que hace Continúa el mapa de proyección canónico (la función que asigna apunta a sus clases de equivalencia ). En otras palabras, un subconjunto de un espacio cociente está abierto si y solo si su preimagen bajo el mapa de proyección canónica está abierto en el espacio topológico original.
Hablando intuitivamente, los puntos de cada clase de equivalencia se identifican o "pegan" para formar un nuevo espacio topológico. Por ejemplo, identificar los puntos de una esfera que pertenecen al mismo diámetro produce el plano proyectivo como un espacio cociente.
Definición
Dejar que ( X , τ X ) ser un espacio topológico , y vamos ~ haber una relación de equivalencia en X . El conjunto cociente , Y = X / ~ es el conjunto de clases de equivalencia de los elementos de X . Como de costumbre, la clase de equivalencia de x ∈ X se denota [ x ] .
El espacio del cociente debajo de ~ es el conjunto de cocientes Y equipado con la topología de cociente , que es la topología cuyos conjuntos abiertos son los subconjuntos U ⊆ Y talestá abierto en X . Es decir,
De manera equivalente, los conjuntos abiertos de la topología del cociente son los subconjuntos de Y que tienen una preimagen abierta bajo el mapa sobreyectivo x → [ x ] .
La topología del cociente es la topología final del conjunto del cociente, con respecto al mapa x → [ x ] .
Mapa de cociente
Un mapa es un mapa de cociente (a veces llamado mapa de identificación ) si es sobreyectivo , y un subconjunto U de Y está abierto si y solo siEsta abierto. Equivalentemente, es un mapa de cocientes si está sobre y está equipado con la topología final con respecto a.
Dada una relación de equivalencia en , el mapa canónico es un mapa de cocientes.
A hereditariamente el mapa del cociente es un mapa sobreyectivo con la propiedad de que para cada subconjunto la restricción también es un mapa de cocientes.
Ejemplos de
- Pegado . Los topólogos hablan de pegar puntos. Si X es un espacio topológico, encolado los puntos x y y en X significa considerar el espacio cociente obtenido a partir de la relación de equivalencia un ~ b si y sólo si un = b o un = x , b = y (o un = y , b = x ).
- Considere el cuadrado unitario I 2 = [0,1] × [0,1] y la relación de equivalencia ~ generada por el requisito de que todos los puntos límite sean equivalentes, identificando así todos los puntos límite en una sola clase de equivalencia. Entonces I 2 / ~ es homeomorfo a la esfera S 2 .
- Espacio adjunto . Más en general, supongamos X es un espacio y A es un subespacio de X . Uno puede identificar todos los puntos en A para una sola clase de equivalencia y dejar los puntos fuera de A equivalentes solo a ellos mismos. El espacio cociente resultante se denota X / A . La 2-esfera es entonces homeomórfica a un disco cerrado con su límite identificado en un solo punto:.
- Considere el conjunto R de números reales con la topología ordinaria y escriba x ~ y si y solo si x - y es un número entero . Entonces, el espacio cociente X / ~ es homeomorfo al círculo unitario S 1 a través del homeomorfismo que envía la clase de equivalencia de x a exp (2π ix ).
- Una generalización del ejemplo anterior es el siguiente: Supongamos que un grupo topológico G actúa continuamente en un espacio X . Se puede formar una relación de equivalencia en X diciendo que los puntos son equivalentes si y solo si se encuentran en la misma órbita . El espacio cociente bajo esta relación se llama el espacio de órbita , denotado X / G . En el ejemplo anterior, G = Z actúa sobre R por traslación. El espacio orbital R / Z es homeomorfo a S 1 .
Nota : La notación R / Z es algo ambigua. Si se entiende que Z es un grupo que actúa sobre R mediante la suma, entonces el cociente es el círculo. Sin embargo, si se piensa en Z como un subespacio de R , entonces el cociente es un ramo numerablemente infinito de círculos unidos en un solo punto.
Propiedades
Los mapas de cocientes q : X → Y se caracterizan entre los mapas sobreyectivos por la siguiente propiedad: si Z es cualquier espacio topológico y f : Y → Z es cualquier función, entonces f es continua si y solo si f ∘ q es continua.
El espacio del cociente X / ~ junto con el mapa del cociente q : X → X / ~ se caracteriza por la siguiente propiedad universal : si g : X → Z es un mapa continuo tal que a ~ b implica g ( a ) = g ( b ) para todo a y b en X , entonces existe un mapa continuo único f : X / ~ → Z tal que g = f ∘ q . Decimos que g desciende al cociente .
Los mapas continuos definidos en X / ~ son, por tanto, precisamente aquellos mapas que surgen de mapas continuos definidos en X que respetan la relación de equivalencia (en el sentido de que envían elementos equivalentes a la misma imagen). Este criterio se usa copiosamente cuando se estudian espacios de cocientes.
Dada una sobreyección continua q : X → Y es útil tener criterios mediante los cuales se pueda determinar si q es un mapa de cociente. Dos criterios suficientes son que q sea abierto o cerrado . Tenga en cuenta que estas condiciones solo son suficientes , no necesarias . Es fácil construir ejemplos de mapas de cocientes que no sean ni abiertos ni cerrados. Para los grupos topológicos, el mapa de cocientes está abierto.
Compatibilidad con otras nociones topológicas
- Separación
- En general, los espacios de cociente se comportan mal con respecto a los axiomas de separación. Las propiedades de separación de X no tiene por qué ser heredados por X / ~ y X / ~ puede tener propiedades de separación no compartidos por X .
- X / ~ es un espacio T1 si y sólo si cada clase de equivalencia de ~ es cerrado en X .
- Si el mapa cociente es abierta , entonces X / ~ es un espacio de Hausdorff si y sólo si ~ es un subconjunto cerrado del espacio del producto X × X .
- Conectividad
- Si un espacio está conectado o una ruta conectada , también lo están todos sus espacios de cociente.
- Un espacio cociente de un espacio simplemente conectado o contráctil no necesita compartir esas propiedades.
- Compacidad
- Si un espacio es compacto, también lo son todos sus espacios cocientes.
- Un espacio cociente de un espacio localmente compacto no necesita ser localmente compacto.
- Dimensión
- La dimensión topológica de un espacio cociente puede ser mayor (o menor) que la dimensión del espacio original; las curvas que llenan el espacio proporcionan tales ejemplos.
Ver también
Topología
- Unión disjunta (topología)
- Topología final: la topología más fina que hace que algunas funciones sean continuas
- Cono de mapeo (topología)
- Espacio de producto
- Subespacio (topología)
- Espacio topológico - Estructura matemática con noción de cercanía
- Cubriendo el espacio : un espacio topológico que se asigna a otro, luciendo localmente como copias separadas
Álgebra
- Cono de mapeo (álgebra homológica) - Herramienta en álgebra homológica
- Categoría de cociente
- Grupo cociente
- Espacio cociente (álgebra lineal) : espacio vectorial que consta de subespacios afines
Referencias
- Willard, Stephen (1970). Topología general . Reading, MA: Addison-Wesley . ISBN 0-486-43479-6.