En topología , la suma de cuñas es una "unión de un punto" de una familia de espacios topológicos . Específicamente, si X e Y son espacios puntiagudos (es decir, espacios topológicos con puntos base distinguidos x 0 e y 0 ) la suma de la cuña de X e Y es el espacio cociente de la unión disjunta de X e Y por la identificación x 0 ∼ y 0 :
donde ∼ es el cierre de equivalencia de la relación {( x 0 , y 0 )}. De manera más general, suponga que ( X i ) i ∈ I es una familia de espacios puntiagudos con puntos base { p i }. La suma de la cuña de la familia viene dada por:
donde ∼ es el cierre de equivalencia de la relación {( p i , p j ) | yo, j ∈ I }. En otras palabras, la suma de la cuña es la unión de varios espacios en un solo punto. Esta definición es sensible a la elección de los puntos base { p i }, a menos que los espacios { X i } sean homogéneos .
La suma de la cuña es nuevamente un espacio puntiagudo, y la operación binaria es asociativa y conmutativa (hasta el homeomorfismo).
A veces, la suma de la cuña se denomina producto de la cuña , pero este no es el mismo concepto que el producto exterior , que a menudo también se denomina producto de la cuña.
Ejemplos de
La suma en cuña de dos círculos es homeomórfica a un espacio en forma de ocho . La suma en cuña de n círculos a menudo se denomina ramo de círculos , mientras que un producto en cuña de esferas arbitrarias a menudo se denomina ramo de esferas .
Una construcción común en la homotopía es identificar todos los puntos a lo largo del ecuador de una n- esfera.. Hacerlo da como resultado dos copias de la esfera, unidas en el punto que era el ecuador:
Dejar ser el mapa , es decir, de identificar el ecuador hasta un solo punto. Luego suma de dos elementosdel grupo de homotopía n- dimensional de un espacio X en el punto distinguido puede entenderse como la composición de y con :
Aquí, son mapas que toman un punto distinguido al punto Tenga en cuenta que lo anterior usa la suma en cuña de dos funciones, lo cual es posible precisamente porque coinciden en el punto común a la suma de la cuña de los espacios subyacentes.
Descripción categórica
La suma de la cuña puede entenderse como el coproducto en la categoría de espacios apuntados . Alternativamente, la suma de la cuña puede verse como la expulsión del diagrama X ← {•} → Y en la categoría de espacios topológicos (donde {•} es cualquier espacio de un punto).
Propiedades
El teorema de Van Kampen da ciertas condiciones (que por lo general se cumplen para buen comportamiento espacios, tales como complejos de CW ) en las que el grupo fundamental de la suma de cuña de dos plazas de X y Y es el producto libre de los grupos fundamentales de X y Y .
Ver también
- Producto aplastado
- Pendiente hawaiano , un espacio topológico que se asemeja, pero no es lo mismo, a una suma en cuña de innumerables círculos
Referencias
- Rotman, Joseph. Una introducción a la topología algebraica , Springer, 2004, p. 153. ISBN 0-387-96678-1