En la teoría de los procesos estocásticos , el problema de filtrado es un modelo matemático para una serie de problemas de estimación de estado en el procesamiento de señales y campos relacionados. La idea general es establecer una "mejor estimación" del valor real de algún sistema a partir de un conjunto incompleto y potencialmente ruidoso de observaciones sobre ese sistema. El problema del filtrado no lineal óptimo (incluso para el caso no estacionario) fue resuelto por Ruslan L. Stratonovich (1959, [1] 1960 [2] ), véase también el trabajo de Harold J. Kushner [3] y Moshe Zakai 's, quien introdujo una dinámica simplificada para la ley condicional no normalizada del filtro.[4] conocida como ecuación de Zakai . La solución, sin embargo, es de dimensión infinita en el caso general. [5] Ciertas aproximaciones y casos especiales se entienden bien: por ejemplo, los filtros lineales son óptimos para variables aleatorias gaussianas, y se conocen como filtro de Wiener y filtro de Kalman-Bucy . De manera más general, como la solución es de dimensión infinita, requiere aproximaciones de dimensión finita para implementarse en una computadora con memoria finita. Un filtro no lineal aproximado de dimensión finitapuede basarse más en la heurística, como el filtro de Kalman extendido o los filtros de densidad supuesta, [6]o más orientados metodológicamente como por ejemplo los Filtros de Proyección, [7] de los cuales se muestra que algunas subfamilias coinciden con los Filtros de Densidad Supuesta. [8]
En general, si se aplica el principio de separación , el filtrado también surge como parte de la solución de un problema de control óptimo . Por ejemplo, el filtro de Kalman es la parte de estimación de la solución de control óptima para el problema de control lineal-cuadrático-gaussiano .
Considere un espacio de probabilidad (Ω, Σ, P ) y suponga que el estado (aleatorio) Y t en el espacio euclidiano n - dimensional R n de un sistema de interés en el tiempo t es una variable aleatoria Y t : Ω → R n dada por la solución a una ecuación diferencial estocástica de Itō de la forma
donde B denota movimiento browniano p -dimensional estándar , b : [0, +∞) × R n → R n es el campo de deriva, y σ : [0, +∞) × R n → R n × p es el campo de difusión . Se supone que las observaciones H t en R m (nótese que m y n pueden, en general, ser desiguales) se toman para cada tiempo t de acuerdo con
donde W denota un movimiento browniano r -dimensional estándar , independiente de B y de la condición inicial Y 0 , y c : [0, +∞) × R n → R n y γ : [0, +∞) × R n → R n × r satisfacer
El problema de filtrado es el siguiente: dadas las observaciones Z s para 0 ≤ s ≤ t , ¿cuál es la mejor estimación Ŷ t del estado verdadero Y t del sistema basado en esas observaciones?