En la teoría de procesos estocásticos , el problema de filtrado es un modelo matemático para una serie de problemas de estimación de estado en el procesamiento de señales y campos relacionados. La idea general es establecer una "mejor estimación" para el valor real de algún sistema a partir de un conjunto de observaciones incompletas y potencialmente ruidosas en ese sistema. El problema de filtrado no lineal óptima (incluso para el caso no estacionario) se resolvió por Ruslan L. Stratonovich (1959, [1] 1960 [2] ), consulta Harold J. Kushner trabajo 's [3] y Moshe Zakai , quien introdujo una dinámica simplificada para la ley condicional no normalizada del filtro.[4] conocida como ecuación de Zakai . La solución, sin embargo, es de dimensión infinita en el caso general. [5] Ciertas aproximaciones y casos especiales se entienden bien: por ejemplo, los filtros lineales son óptimos para las variables aleatorias gaussianas, y se conocen como el filtro de Wiener y el filtro de Kalman-Bucy . De manera más general, como la solución es de dimensión infinita, requiere que se implementen aproximaciones de dimensión finita en una computadora con memoria finita. Un filtro no lineal aproximado de dimensión finitapuede basarse más en heurísticas, como el filtro de Kalman extendido o los filtros de densidad asumida, [6]o con una orientación más metodológica como, por ejemplo, los Filtros de proyección, [7] algunas subfamilias de las cuales se muestran coincidiendo con los Filtros de densidad asumida. [8]
En general, si se aplica el principio de separación , el filtrado también surge como parte de la solución de un problema de control óptimo . Por ejemplo, el filtro de Kalman es la parte de estimación de la solución de control óptima para el problema de control lineal-cuadrático-gaussiano .
Considere un espacio de probabilidad (Ω, Σ, P ) y suponga que el estado (aleatorio) Y t en el espacio euclidiano n - dimensional R n de un sistema de interés en el tiempo t es una variable aleatoria Y t : Ω → R n dada por la solución a una ecuación diferencial estocástica de Itō de la forma
donde B denota el movimiento browniano p -dimensional estándar , b : [0, + ∞) × R n → R n es el campo de deriva, y σ : [0, + ∞) × R n → R n × p es el campo de difusión . Se supone que las observaciones H t en R m (nota que m y n pueden, en general, ser desigual) se toman para cada tiempo t de acuerdo con
donde W denota el movimiento browniano r -dimensional estándar , independiente de B y la condición inicial Y 0 , yc : [0, + ∞) × R n → R n y γ : [0, + ∞) × R n → R n × r satisfacer
El problema de filtrado es el siguiente: dadas las observaciones Z s para 0 ≤ s ≤ t , ¿cuál es la mejor estimación Ŷ t del estado verdadero Y t del sistema basada en esas observaciones?