En matemáticas , una familia de conjuntos es de carácter finito si para cada, pertenece a si y solo si cada subconjunto finito de pertenece a . Es decir,
- Para cada , cada subconjunto finito de pertenece a .
- Si cada subconjunto finito de un conjunto dado pertenece a , luego pertenece a .
Propiedades
Una familia de conjuntos de carácter finito disfruta de las siguientes propiedades:
- Para cada , cada subconjunto (finito o infinito) de pertenece a .
- Toda familia no vacía de carácter finito tiene un elemento máximo con respecto a la inclusión ( lema de Tukey ): En, parcialmente ordenada por inclusión, la unión de cada cadena de elementos de también pertenece a , por lo tanto, según el lema de Zorn , contiene al menos un elemento máximo.
Ejemplo
Dejar ser un espacio vectorial y dejarser la familia de subconjuntos linealmente independientes de. Luego es una familia de carácter finito (porque un subconjunto es linealmente dependiente si y solo si tiene un subconjunto finito que es linealmente dependiente). Por lo tanto, en cada espacio vectorial, existe una familia máxima de elementos linealmente independientes. Como una familia máxima es una base vectorial , cada espacio vectorial tiene una base vectorial (posiblemente infinita).
Ver también
Referencias
- Jech, Thomas J. (2008) [1973]. El axioma de la elección . Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-46624-8.
- Smullyan, Raymond M .; Fitting, Melvin (2010) [1996]. Teoría de conjuntos y problema continuo . Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-47484-7.
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