lema de zorn
El lema de Zorn , también conocido como el lema de Kuratowski-Zorn , es una proposición de la teoría de conjuntos . Establece que un conjunto parcialmente ordenado que contiene límites superiores para cada cadena (es decir, cada subconjunto totalmente ordenado ) necesariamente contiene al menos un elemento máximo .
El lema fue probado (asumiendo el axioma de elección ) por Kazimierz Kuratowski en 1922 e independientemente por Max Zorn en 1935. [2] Ocurre en las demostraciones de varios teoremas de importancia crucial, por ejemplo, el teorema de Hahn-Banach en análisis funcional . el teorema de que todo espacio vectorial tiene una base , [3] el teorema de Tychonoff en topología que establece que todo producto de espacios compactos es compacto, y los teoremas en álgebra abstracta que en un anillocon identidad todo ideal propio está contenido en un ideal maximal y que todo campo tiene una clausura algebraica . [4]
El lema de Zorn es equivalente al teorema del buen orden y también al axioma de elección , en el sentido de que dentro de ZF ( Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección) cualquiera de los tres es suficiente para probar los otros dos. [5] Una formulación anterior del lema de Zorn es el principio máximo de Hausdorff, que establece que todo subconjunto totalmente ordenado de un conjunto parcialmente ordenado está contenido en un subconjunto máximo totalmente ordenado de ese conjunto parcialmente ordenado. [6]
Para probar la existencia de un objeto matemático que puede verse como un elemento máximo en algún conjunto parcialmente ordenado de alguna manera, se puede probar la existencia de tal objeto suponiendo que no hay un elemento máximo y usando la inducción transfinita y las suposiciones de la situación para obtener una contradicción. El lema de Zorn ordena las condiciones que una situación debe satisfacer para que dicho argumento funcione y permite a los matemáticos no tener que repetir el argumento de inducción transfinita a mano cada vez, sino simplemente comprobar las condiciones del lema de Zorn.
Si está construyendo un objeto matemático en etapas y descubre que (i) no ha terminado incluso después de un número infinito de etapas, y (ii) parece que no hay nada que le impida seguir construyendo, entonces el lema de Zorn puede ayudarlo. usted.
Lema de Zorn : suponga que un conjunto P parcialmente ordenado tiene la propiedad de que cada cadena en P tiene un límite superior en P . Entonces el conjunto P contiene al menos un elemento maximal .
