Método de diferencias finitas
En el análisis numérico , los métodos de diferencias finitas ( FDM ) son una clase de técnicas numéricas para resolver ecuaciones diferenciales mediante la aproximación de derivadas con diferencias finitas . Tanto el dominio espacial como el intervalo de tiempo (si corresponde) se discretizan o se dividen en un número finito de pasos, y el valor de la solución en estos puntos discretos se aproxima resolviendo ecuaciones algebraicas que contienen diferencias finitas y valores de puntos cercanos.
Los métodos de diferencias finitas convierten ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE) o ecuaciones diferenciales parciales (PDE), que pueden ser no lineales , en un sistema de ecuaciones lineales que pueden resolverse mediante técnicas de álgebra matricial. Las computadoras modernas pueden realizar estos cálculos de álgebra lineal de manera eficiente, lo que, junto con su relativa facilidad de implementación, ha llevado al uso generalizado de FDM en el análisis numérico moderno. [1] Hoy en día, FDM es uno de los enfoques más comunes para la solución numérica de PDE, junto con los métodos de elementos finitos . [1]
Primero, suponiendo que la función cuyas derivadas se van a aproximar se comporta correctamente, por el teorema de Taylor , podemos crear una expansión de la serie de Taylor
donde n ! denota el factorial de n , y R n ( x ) es un término de resto, que denota la diferencia entre el polinomio de Taylor de grado n y la función original. Obtendremos una aproximación para la primera derivada de la función "f" truncando primero el polinomio de Taylor:
Asumiendo que es lo suficientemente pequeño, la aproximación de la primera derivada de "f" es:
El error en la solución de un método se define como la diferencia entre la aproximación y la solución analítica exacta. Las dos fuentes de error en los métodos de diferencias finitas son el error de redondeo, la pérdida de precisión debido al redondeo de cantidades decimales por computadora, y el error de truncamiento o error de discretización , la diferencia entre la solución exacta de la ecuación diferencial original y la cantidad exacta suponiendo aritmética perfecta (es decir, suponiendo que no hay redondeo).
