En matemáticas , especialmente en las áreas de análisis numérico que se concentran en la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales , una plantilla es una disposición geométrica de un grupo nodal que se relaciona con el punto de interés mediante el uso de una rutina de aproximación numérica. Las plantillas son la base de muchos algoritmos para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales parciales (PDE). Dos ejemplos de plantillas son la plantilla de cinco puntos y la plantilla del método Crank-Nicolson .
Las plantillas se clasifican en dos categorías: compactas y no compactas , la diferencia son las capas desde el punto de interés que también se utilizan para el cálculo.
En la notación utilizada para las plantillas unidimensionales, n-1, n, n + 1 indican los pasos de tiempo en los que el paso de tiempo n y n-1 tienen soluciones conocidas y el paso de tiempo n + 1 debe calcularse. La ubicación espacial de los volúmenes finitos utilizados en el cálculo se indican mediante j-1, j y j + 1.
Etimología
Las representaciones gráficas de arreglos de nodos y sus coeficientes surgieron temprano en el estudio de las PDE. Los autores continúan utilizando diferentes términos para estos, como "patrones de relajación", "instrucciones de funcionamiento", "pastillas" o "patrones de puntos". [1] [2] El término "plantilla" se acuñó para que tales patrones reflejen el concepto de diseñar una plantilla en el sentido habitual sobre una cuadrícula computacional para revelar sólo los números necesarios en un paso en particular. [2]
Cálculo de coeficientes
Los coeficientes de diferencia finita para una plantilla determinada se fijan mediante la elección de los puntos de nodo. Los coeficientes se pueden calcular tomando la derivada del polinomio de Lagrange interpolando entre los puntos nodales, [3] calculando la expansión de Taylor alrededor de cada punto nodal y resolviendo un sistema lineal, [4] o haciendo cumplir que la plantilla sea exacta para los monomios hasta el grado de la plantilla. [3] Para nodos equi-espaciados, pueden calcularse eficientemente como el aproximado de Padé de, dónde es el orden de la plantilla y es la relación de la distancia entre la derivada más a la izquierda y las entradas de la función izquierda dividida por el espaciado de la cuadrícula. [5]
Ver también
Referencias
- ^ Emmons, Howard W. (1 de octubre de 1944). "La solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales" (PDF) . Trimestral de Matemática Aplicada . 2 (3): 173-195. doi : 10.1090 / qam / 10680 . Consultado el 17 de abril de 2017 .
- ^ a b Milne, William Edmund (1953). Solución numérica de ecuaciones diferenciales (1ª ed.). Wiley. págs. 128-131 . Consultado el 17 de abril de 2017 .
- ^ a b Fornberg, Bengt; Folleto, Natasha (2015). "Breve resumen de métodos de diferencias finitas". Introducción a las funciones de base radial con aplicaciones a las geociencias . Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. doi : 10.1137 / 1.9781611974041.ch1 . ISBN 9781611974027. Consultado el 9 de abril de 2017 .
- ^ Taylor, Cameron. "Calculadora de coeficientes de diferencia finita" . web.media.mit.edu . Consultado el 9 de abril de 2017 .
- ^ Fornberg, Bengt (enero de 1998). "Nota de clase: cálculo de pesos en fórmulas de diferencia finita". Revisión SIAM . 40 (3): 685–691. doi : 10.1137 / S0036144596322507 .
- WF Spotz. Esquemas compactos de diferencia finita de orden superior para la mecánica computacional . Tesis de doctorado, Universidad de Texas en Austin, Austin, TX, 1995.
- Comunicaciones en métodos numéricos en ingeniería, Copyright © 2008 John Wiley & Sons, Ltd.