Método de punto finito
El método de punto finito ( FPM ) es un método sin malla para resolver ecuaciones diferenciales parciales (PDE) en distribuciones dispersas de puntos. El FPM fue propuesto a mediados de los noventa en (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz & Taylor, 1996a), [1] (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz, Taylor & Sacco, 1996b) [2] y (Oñate & Idelsohn, 1998a) [ 3] con el propósito de facilitar la solución de problemas que involucren geometrías complejas, superficies libres, límites móviles y refinamiento adaptativo . Desde entonces, el FPM ha evolucionado considerablemente, mostrando una precisión satisfactoria y capacidades para tratar diferentes problemas de mecánica de fluidos y sólidos.
Al igual que otros métodos meshfree para PDEs, el método de punto finito (FPM) tiene su origen en técnicas desarrolladas para el ajuste e interpolación de datos dispersos, básicamente en la línea de los métodos de mínimos cuadrados ponderados (WLSQ). Estos últimos pueden considerarse formas particulares del método de mínimos cuadrados móviles (MLS) propuesto por Lancaster y Salkauskas. [4] Los métodos WLSQ han sido ampliamente utilizados en técnicas meshfree porque permiten retener la mayor parte del MLS, pero son más eficientes y simples de implementar. Con estos objetivos en mente, se inició en (Oñate, Idelsohn & Zienkiewicz, 1995a) [5] y (Taylor, Zienkiewicz, Oñate & Idelsohn, 1995) una destacada investigación que condujo al desarrollo del FPM . [6]La técnica propuesta se caracterizó por aproximaciones WLSQ sobre nubes locales de puntos y un procedimiento de discretización de ecuaciones basado en la colocación de puntos (en la línea de los trabajos de Batina, 1989, [7] 1992 [8] ). Las primeras aplicaciones del FPM se centraron en problemas de flujo compresible adaptativo (Fischer, Onate & Idelsohn, 1995; [9] Oñate, Idelsohn & Zienkiewicz, 1995a; [5] Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz & Fisher, 1995b [10] ). También se analizaron los efectos sobre la aproximación de las nubes locales y las funciones de ponderación utilizando bases polinómicas lineales y cuadráticas (Fischer, 1996). [11]Estudios adicionales en el contexto de problemas de convección-difusión y flujo incompresible dieron al FPM una base más sólida; cf. (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz & Taylor, 1996a) [1] y (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz, Taylor & Sacco, 1996b). [2] Estos trabajos y (Oñate & Idelsohn, 1998) [3] definieron la técnica básica de FPM actualmente en uso.
La aproximación en el FPM se puede resumir de la siguiente manera. Para cada punto en el dominio de análisis ( punto estrella ), se construye localmente una solución aproximada utilizando un subconjunto de puntos de apoyo circundantes , que pertenecen al dominio del problema ( nube local de puntos ). La aproximación se calcula como una combinación lineal de los valores nodales (o parámetros) desconocidos de la nube y ciertos coeficientes métricos. Estos se obtienen resolviendo un problema WLSQ al nivel de la nube, en el que las distancias entre los parámetros nodales y la solución aproximada se minimizan en un sentido LSQ. Una vez que se conocen los coeficientes métricos de aproximación, el problema que rige las PDE se muestrea en cada punto de estrella utilizando un método de colocación . Las variables continuas (y sus derivadas) se reemplazan en las ecuaciones muestreadas por las formas aproximadas discretas, y la solución del sistema resultante permite calcular los valores nodales desconocidos. Por lo tanto, se puede obtener la solución aproximada que satisface las ecuaciones gobernantes del problema. Es importante señalar que el carácter altamente local del FPM hace que el método sea adecuado para implementar esquemas de solución paralela eficientes.
