En el campo del análisis numérico , los métodos sin malla son aquellos que no requieren conexión entre nodos del dominio de simulación, es decir, una malla , sino que se basan en la interacción de cada nodo con todos sus vecinos. Como consecuencia, las propiedades extensivas originales, como la masa o la energía cinética, ya no se asignan a los elementos de la malla, sino a los nodos individuales. Los métodos sin malla permiten la simulación de algunos tipos de problemas que de otro modo serían difíciles, a costa de tiempo de cálculo y esfuerzo de programación adicionales. La ausencia de malla permite simulaciones lagrangianas , en las que los nodos pueden moverse según el campo de velocidad .
Motivación
Los métodos numéricos como el método de diferencias finitas , el método de volumen finito y el método de elementos finitos se definieron originalmente en mallas de puntos de datos. En una malla de este tipo, cada punto tiene un número fijo de vecinos predefinidos, y esta conectividad entre vecinos se puede utilizar para definir operadores matemáticos como la derivada . Luego, estos operadores se utilizan para construir las ecuaciones que se van a simular, como las ecuaciones de Euler o las ecuaciones de Navier-Stokes .
Pero en simulaciones donde el material que se está simulando puede moverse (como en la dinámica de fluidos computacional ) o donde pueden ocurrir grandes deformaciones del material (como en las simulaciones de materiales plásticos ), la conectividad de la malla puede ser difícil de mantener sin introducir errores en la simulación. Si la malla se enreda o degenera durante la simulación, es posible que los operadores definidos en ella ya no den los valores correctos. La malla se puede volver a crear durante la simulación (un proceso llamado remallado), pero esto también puede introducir un error, ya que todos los puntos de datos existentes deben mapearse en un conjunto nuevo y diferente de puntos de datos. Los métodos sin malla están destinados a solucionar estos problemas. Los métodos sin malla también son útiles para:
- Simulaciones en las que la creación de una malla útil a partir de la geometría de un objeto 3D complejo puede resultar especialmente difícil o requerir ayuda humana.
- Simulaciones en las que se pueden crear o destruir nodos, como en simulaciones de craqueo.
- Simulaciones en las que la geometría del problema puede desalinearse con una malla fija, como en las simulaciones de flexión.
- Simulaciones que contienen comportamiento de material no lineal, discontinuidades o singularidades.
Ejemplo
En una simulación tradicional de diferencias finitas , el dominio de una simulación unidimensional sería alguna función, representado como una malla de valores de datos en puntos , dónde
Podemos definir las derivadas que ocurren en la ecuación que se está simulando usando algunas fórmulas de diferencias finitas en este dominio, por ejemplo
y
Entonces podemos usar estas definiciones de y sus derivadas espaciales y temporales para escribir la ecuación que se está simulando en forma de diferencias finitas, luego simule la ecuación con uno de los muchos métodos de diferencias finitas .
En este ejemplo simple, los pasos (aquí el paso espacial y paso de tiempo ) son constantes a lo largo de toda la malla, y los vecinos de malla izquierda y derecha del valor de datos en son los valores en y , respectivamente. Generalmente en diferencias finitas se pueden permitir de manera muy simple pasos variables a lo largo de la malla, pero todos los nodos originales deben conservarse y pueden moverse independientemente solo deformando los elementos originales. Si incluso solo dos de todos los nodos cambian su orden, o incluso si solo se agrega o elimina un nodo de la simulación, se crea un defecto en la malla original y la aproximación en diferencias finitas simple ya no se puede mantener.
La hidrodinámica de partículas suavizadas (SPH), uno de los métodos sin malla más antiguos, resuelve este problema al tratar los puntos de datos como partículas físicas con masa y densidad que pueden moverse con el tiempo y tener algún valor.con ellos. SPH luego define el valor de entre las partículas por
dónde es la masa de la partícula , es la densidad de la partícula , y es una función del kernel que opera en puntos de datos cercanos y se elige por su suavidad y otras cualidades útiles. Por linealidad, podemos escribir la derivada espacial como
Entonces podemos usar estas definiciones de y sus derivadas espaciales para escribir la ecuación que se está simulando como una ecuación diferencial ordinaria y simular la ecuación con uno de los muchos métodos numéricos . En términos físicos, esto significa calcular las fuerzas entre las partículas y luego integrar estas fuerzas a lo largo del tiempo para determinar su movimiento.
La ventaja de SPH en esta situación es que las fórmulas para y sus derivados no dependen de ninguna información de adyacencia sobre las partículas; pueden usar las partículas en cualquier orden, por lo que no importa si las partículas se mueven o incluso intercambian lugares.
Una desventaja de SPH es que requiere programación adicional para determinar los vecinos más cercanos de una partícula. Dado que la función del kernelsolo devuelve resultados distintos de cero para partículas cercanas dentro del doble de la "longitud de suavizado" (porque normalmente elegimos funciones de kernel con soporte compacto ), sería un desperdicio de esfuerzo calcular las sumas anteriores sobre cada partícula en una gran simulación. Por lo tanto, los simuladores SPH requieren un código adicional para acelerar el cálculo del vecino más cercano.
Historia
Uno de los primeros métodos sin malla es la hidrodinámica de partículas suavizadas , presentado en 1977. [1] Libersky et al. [2] fueron los primeros en aplicar SPH en mecánica de sólidos. Los principales inconvenientes de SPH son los resultados inexactos cerca de los límites y la inestabilidad de la tensión que fue investigado por primera vez por Swegle. [3]
En la década de 1990 surgió una nueva clase de métodos sin malla basada en el método Galerkin . Este primer método llamado método de elemento difuso [4] (DEM), iniciado por Nayroles et al., Utilizó la aproximación MLS en la solución de Galerkin de ecuaciones diferenciales parciales, con derivadas aproximadas de la función MLS. A partir de entonces, Belytschko fue pionera en el método Element Free Galerkin (EFG), [5] que empleó MLS con multiplicadores de Lagrange para hacer cumplir las condiciones de contorno, cuadratura numérica de orden superior en la forma débil y derivadas completas de la aproximación MLS que dio una mayor precisión. Casi al mismo tiempo, surgió el método de reproducción de partículas del kernel [6] (RKPM), la aproximación motivada en parte para corregir la estimación del kernel en SPH: para dar precisión cerca de los límites, en discretizaciones no uniformes y precisión de orden superior en general. . En particular, en un desarrollo paralelo, los métodos de puntos materiales se desarrollaron aproximadamente al mismo tiempo [7] que ofrecen capacidades similares. Los métodos de puntos de material se utilizan ampliamente en la industria del cine para simular la mecánica de sólidos de gran deformación, como la nieve en la película Frozen . [8] Chen, Liu y Li desarrollaron ampliamente RKPM y otros métodos sin malla a fines de la década de 1990 para una variedad de aplicaciones y varias clases de problemas. [9] Durante la década de 1990 y posteriormente, se desarrollaron varias otras variedades, incluidas las que se enumeran a continuación.
Lista de métodos y siglas
Por lo general, se considera que los siguientes métodos numéricos pertenecen a la clase general de métodos "sin malla". Los acrónimos se proporcionan entre paréntesis.
- Hidrodinámica de partículas suavizadas (SPH) (1977)
- Método de elementos difusos (DEM) (1992)
- Dinámica de partículas disipativas (DPD) (1992)
- Método de Galerkin sin elementos (EFG / EFGM) (1994)
- Método de reproducción de partículas de grano (RKPM) (1995)
- Método de puntos finitos (FPM) (1996)
- Método de conjunto de puntos finitos (FPM) (1998)
- hp-nubes
- Método de elementos naturales (NEM)
- Método de punto material (MPM)
- Petrov Galerkin local sin malla (MLPG) (1998) [10]
- Formulación sin malla de deformación generalizada (GSMF) (2016) [11]
- Partícula móvil semi-implícita (MPS)
- Método de diferencias finitas generalizadas (GFDM)
- Partícula en celda (PIC)
- Método de elementos finitos de partículas móviles (MPFEM)
- Método de nube finita (FCM)
- Método de nodo límite (BNM)
- Método de interpolación de Kriging en movimiento sin malla (MK)
- Método de nube límite (BCM)
- Método de soluciones fundamentales (MFS)
- Método de solución particular (MPS)
- Método de esferas finitas (MFS)
- Método de vórtice discreto (DVM)
- Método de masas finitas (FMM) (2000) [12]
- Método de interpolación de puntos suavizados (S-PIM) (2005). [13]
- Método de interpolación de punto radial local sin malla (RPIM). [13]
- Método de colocación de funciones de base radial local (LRBFCM) [14]
- Método de dominios de vórtice viscoso (VVD)
- Método de partículas de craqueo (CPM) (2004)
- Método sin malla de mínimos cuadrados discretos (DLSM) (2006)
- Método de partículas sumergidas (IPM) (2006)
- Método sin malla de transporte óptimo (OTM) (2010) [15]
- Método de reemplazo repetido (RRM) (2012) [16]
- Método de ecuación integral de base radial [17]
- Método sin malla de colocación por mínimos cuadrados (2001) [18]
- Peridinámica (PD)
- Método de funciones de base exponencial (EBF) (2010) [19]
Métodos relacionados:
- Mínimos cuadrados móviles (MLS): proporciona un método de aproximación general para un conjunto arbitrario de nodos
- Partición de métodos unitarios (PoUM): proporciona una formulación de aproximación general utilizada en algunos métodos sin malla
- Método de mezcla continua (enriquecimiento y acoplamiento de elementos finitos y métodos sin malla) - ver Huerta & Fernández-Méndez (2000)
- FEM extendido , FEM generalizado (XFEM, GFEM): variantes de FEM (método de elementos finitos) que combinan algunos aspectos sin malla
- Método de elementos finitos suavizados (S-FEM) (2007)
- Método de suavizado de gradiente (GSM) (2008)
- Máxima entropía local (LME) - ver Arroyo y Ortiz (2006)
- Método de colocación sin malla de espacio-tiempo (STMCM) - ver Netuzhylov (2008) , Netuzhylov & Zilian (2009)
- Método de elementos finitos de interfaz sin malla (MIFEM) (2015): un método híbrido sin malla de elementos finitos para la simulación numérica de la transformación de fase y problemas de flujo multifásico [20]
Desarrollo reciente
Las áreas principales de avance en los métodos sin malla son abordar problemas con el cumplimiento de los límites esenciales, la cuadratura numérica y el contacto y grandes deformaciones. [21] La forma débil común requiere un fuerte cumplimiento de las condiciones de contorno esenciales, sin embargo, los métodos sin malla en general carecen de la propiedad delta de Kronecker . Esto hace que la aplicación de las condiciones de contorno esenciales no sea trivial, al menos más difícil que el método de los elementos finitos , donde se pueden imponer directamente. Se han desarrollado técnicas para superar esta dificultad e imponer condiciones con fuerza. Se han desarrollado varios métodos para imponer débilmente las condiciones de contorno esenciales , incluidos los multiplicadores de Lagrange , el método de Nitche y el método de penalización.
En cuanto a la cuadratura , generalmente se prefiere la integración nodal que ofrece simplicidad, eficiencia y mantiene el método sin malla libre de cualquier malla (a diferencia de usar la cuadratura de Gauss , que necesita una malla para generar puntos de cuadratura y pesos). Sin embargo, la integración nodal sufre de inestabilidad numérica debido a la subestimación de la energía de deformación asociada con los modos de longitud de onda corta, [22] y también produce resultados inexactos y no convergentes debido a la subintegración de la forma débil. [23] Un avance importante en la integración numérica ha sido el desarrollo de una integración nodal conforme estabilizada (SCNI) que proporciona un método de integración nodal que no adolece de ninguno de estos problemas. [23] El método se basa en el suavizado de deformaciones que satisface la prueba de parche de primer orden . Sin embargo, más tarde se supo que los modos de baja energía todavía estaban presentes en SCNI, y se han desarrollado métodos de estabilización adicionales. Este método se ha aplicado a una variedad de problemas que incluyen placas delgadas y gruesas, poromecánica, problemas dominados por convección, entre otros. [21] Más recientemente, se ha desarrollado un marco para pasar pruebas de parche de orden arbitrario, basado en un método Petrov-Galerkin . [24]
Un avance reciente en los métodos sin malla apunta al desarrollo de herramientas computacionales para la automatización en el modelado y las simulaciones. Esto es posible gracias a la denominada formulación débil debilitada (W2) basada en la teoría del espacio G. [25] [26] La formulación W2 ofrece posibilidades para formular varios modelos (uniformemente) "suaves" que funcionan bien con mallas triangulares. Debido a que una malla triangular se puede generar automáticamente, resulta mucho más fácil volver a mallar y, por lo tanto, permite la automatización en el modelado y la simulación. Además, los modelos W2 se pueden hacer lo suficientemente blandos (de manera uniforme) para producir soluciones de límite superior (para problemas de conducción forzada). Junto con los modelos rígidos (como los modelos FEM totalmente compatibles), se puede unir cómodamente la solución desde ambos lados. Esto permite una estimación sencilla del error para problemas generalmente complicados, siempre que se pueda generar una malla triangular. Los modelos W2 típicos son los métodos de interpolación de puntos suavizados (o S-PIM). [13] El S-PIM puede estar basado en nodos (conocido como NS-PIM o LC-PIM), [27] basado en bordes (ES-PIM), [28] y basado en células (CS-PIM). [29] El NS-PIM se desarrolló utilizando la denominada técnica SCNI. [23] Luego se descubrió que NS-PIM es capaz de producir una solución de límite superior y sin bloqueo volumétrico. [30] El ES-PIM tiene una precisión superior y el CS-PIM se comporta entre el NS-PIM y el ES-PIM. Además, las formulaciones W2 permiten el uso de funciones de base polinomial y radial en la creación de funciones de forma (acomoda las funciones de desplazamiento discontinuo, siempre que esté en el espacio G1), lo que abre más espacios para futuros desarrollos. La formulación W2 también ha llevado al desarrollo de una combinación de técnicas sin malla con las técnicas FEM bien desarrolladas, y ahora se puede usar malla triangular con una precisión excelente y la suavidad deseada. Una formulación típica de este tipo es el llamado método de elementos finitos suavizados (o S-FEM). [31] El S-FEM es la versión lineal de S-PIM, pero con la mayoría de las propiedades del S-PIM y mucho más simple.
Es una percepción generalizada que los métodos sin malla son mucho más costosos que los métodos FEM. Sin embargo, el estudio reciente ha descubierto que algunos métodos sin malla, como S-PIM y S-FEM, pueden ser mucho más rápidos que sus contrapartes FEM. [13] [31]
El S-PIM y S-FEM funcionan bien para problemas de mecánica sólida. Para los problemas de CFD, la formulación puede ser más simple, a través de una formulación fuerte. También se ha desarrollado recientemente un método de suavizado de gradiente (GSM) para problemas de CFD, implementando la idea de suavizado de gradiente en forma fuerte. [32] [33] El GSM es similar a [FVM], pero utiliza operaciones de suavizado de gradiente exclusivamente en modelos anidados, y es un método numérico general para PDE.
La integración nodal se ha propuesto como una técnica para utilizar elementos finitos para emular un comportamiento sin malla. [ cita requerida ] Sin embargo, el obstáculo que se debe superar al usar elementos integrados nodalmente es que las cantidades en los puntos nodales no son continuas y los nodos se comparten entre múltiples elementos.
Ver también
- Mecánica de Medios Continuos
- Método de elementos finitos suavizados [31]
- Espacio G [34]
- Forma débil debilitada [35] [36]
- Método del elemento de contorno
- Método de límite sumergido
- Código de la plantilla
- Método de partículas
Referencias
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enlaces externos
- El blog de la USACM sobre métodos Meshfree