En matemáticas , la ecuación de Fisher (que lleva el nombre del estadístico y biólogo Ronald Fisher ), también conocida como la ecuación de Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov (que lleva el nombre de Andrey Kolmogorov , Ivan Petrovsky y Nikolai Piskunov ), la ecuación de KPP o la ecuación de Fisher-KPP es la ecuación diferencial parcial :
Es un tipo de sistema de reacción-difusión que se puede utilizar para modelar el crecimiento de la población y la propagación de ondas.
Detalles
La ecuación de Fisher pertenece a la clase de ecuación de reacción-difusión : de hecho, es una de las ecuaciones de reacción-difusión semilineales más simples, la que tiene el término no homogéneo
que pueden exhibir soluciones de ondas viajeras que cambian entre estados de equilibrio dados por . Tales ecuaciones ocurren, por ejemplo, en ecología , fisiología , combustión , cristalización , física del plasma y en problemas generales de transición de fase .
Fisher propuso esta ecuación en su artículo de 1937 La ola de avance de genes ventajosos en el contexto de la dinámica de poblaciones para describir la expansión espacial de un alelo ventajoso y exploró sus soluciones de ondas viajeras. [1] Para cada velocidad de onda (en forma adimensional) admite soluciones de ondas viajeras de la forma
dónde está aumentando y
Es decir, la solución cambia del estado de equilibrio u = 0 al estado de equilibrio u = 1. No existe tal solución para c <2. [1] [2] [3] La forma de onda para una velocidad de onda dada es única. Las soluciones de ondas viajeras son estables frente a perturbaciones de campo cercano, pero no frente a perturbaciones de campo lejano que pueden engrosar la cola. Se puede probar usando el principio de comparación y la teoría de superesoluciones que todas las soluciones con datos iniciales compactos convergen en ondas con la velocidad mínima.
Para la velocidad especial de las olas , todas las soluciones se pueden encontrar en forma cerrada, [4] con
dónde es arbitrario, y las condiciones límite anteriores se satisfacen para .
La prueba de la existencia de soluciones de ondas viajeras y el análisis de sus propiedades se realiza a menudo mediante el método del espacio de fase .
Ecuación de KPP
En el mismo año (1937) cuando Fisher, Kolmogorov, Petrovsky y Piskunov [2] introdujeron la ecuación de reacción-difusión más general
dónde es una función suficientemente suave con las propiedades que y para todos . Esto también tiene las soluciones de ondas viajeras discutidas anteriormente. La ecuación de Fisher se obtiene al establecer y reescalando el coordinar por un factor de . Un ejemplo más general lo da con . [5] [6] [7] Kolmogorov, Petrovsky y Piskunov [2] discutieron el ejemplo conen el contexto de la genética de poblaciones .
Ver también
Referencias
- ↑ a b Fisher, RA (1937). "La ola de avance de genes ventajosos" (PDF) . Anales de la eugenesia . 7 (4): 353–369. doi : 10.1111 / j.1469-1809.1937.tb02153.x . hdl : 2440/15125 .
- ^ a b c A. Kolmogorov, I. Petrovskii y N. Piskunov. "Estudio de la ecuación de difusión con aumento de la cantidad de sustancia" y su aplicación a un problema biológico. En VM Tikhomirov, editor, Obras seleccionadas de AN Kolmogorov I , páginas 248–270. Kluwer 1991, ISBN 90-277-2796-1 . Traducido por VM Volosov de Bull. Universidad de Moscú, Matemáticas. Mech. 1, 1–25, 1937
- ^ Peter Grindrod. La teoría y aplicaciones de las ecuaciones de reacción-difusión: Patrones y ondas. Serie de Ciencias de la Computación y Matemáticas Aplicadas de Oxford. The Clarendon Press Oxford University Press, Nueva York, segunda edición, 1996 ISBN 0-19-859676-6 ; ISBN 0-19-859692-8 .
- ^ Ablowitz, Mark J. y Zeppetella, Anthony, Soluciones explícitas de la ecuación de Fisher para una velocidad de onda especial , Bulletin of Mathematical Biology 41 (1979) 835-840 doi : 10.1007 / BF02462380
- ^ Trefethen (30 de agosto de 2001). "Ecuación de Fisher-KPP" (PDF) . Pescador 2 .
- ^ Griffiths, Graham W .; Schiesser, William E. (2011). "Ecuación de Fisher-Kolmogorov". Análisis de ondas viajeras de ecuaciones diferenciales parciales . Academy Press. págs. 135-146. ISBN 978-0-12-384652-5.
- ^ Adomian, G. (1995). "Ecuación de Fisher-Kolmogorov". Letras de matemáticas aplicadas . 8 (2): 51–52. doi : 10.1016 / 0893-9659 (95) 00010-N .
enlaces externos
- Ecuación de Fisher en MathWorld .
- Ecuación de Fisher en EqWorld.