En álgebra conmutativa , los ideales de ajuste de un módulo generado finitamente sobre un anillo conmutativo describen las obstrucciones para generar el módulo por un número determinado de elementos. Fueron presentados por Hans Fitting ( 1936 ).
Definición
Si M es un módulo generado finitamente sobre un anillo conmutativo R generado por elementos m 1 , ..., m n con relaciones
entonces el i- ésimo ajuste ideal Fitt i ( M ) de M es generado por los menores (determinantes de submatrices) de orden n - i de la matriz a jk . Los ideales de montaje no dependen de la elección de los generadores y las relaciones de M .
Algunos autores definieron el ideal de ajuste I ( M ) como el primer ajuste ideal de ajuste distinto de cero i ( M ).
Propiedades
Los ideales de Fitting están aumentando
- Fitt 0 ( M ) ⊆ Fitt 1 ( M ) ⊆ Fitt 2 ( M ) ...
Si M puede ser generado por n elementos, entonces Fitt n ( M ) = R , y si R es local, se cumple lo contrario. Tenemos Fitt 0 ( M ) ⊆ Ann ( M ) (el aniquilador de M ), y Ann ( M ) Fitt i ( M ) ⊆ Fitt i −1 ( M ), por lo que en particular si M puede ser generado por n elementos entonces Ann ( M ) n ⊆ Fitt 0 ( M ).
Ejemplos de
Si M está libre del rango n, entonces los ideales de ajuste Fitt i ( M ) son cero para i < n y R para i ≥ n .
Si M es un grupo abeliano finito de orden | M | (considerado como un módulo sobre los números enteros) entonces el ajuste ideal Fitt 0 ( M ) es el ideal (| M |).
El polinomio de Alexander de un nudo es un generador del ideal de ajuste de la primera homología de la cubierta abeliana infinita del complemento del nudo.
Imagen de ajuste
El ideal de ajuste cero también se puede utilizar para dar una definición de la imagen teórica de esquemas de morfismos, que se comporta bien en familias. Dado un morfismo de esquemas, la imagen de ajuste de f se define como el subesquema cerrado asociado al haz de ideales, dónde es visto como un -módulo a través del morfismo canónico .
Referencias
- Eisenbud, David (1995), álgebra conmutativa , Textos de posgrado en matemáticas, 150 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
- Fitting, Hans (1936), "Die Determinantenideale eines Moduls" , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 46 : 195-228, ISSN 0012-0456
- Mazur, Barry ; Wiles, Andrew (1984), "Campos de clase de extensiones abelianas de Q ", Inventiones Mathematicae , 76 (2): 179–330, doi : 10.1007 / BF01388599 , ISSN 0020-9910 , MR 0742853
- Northcott, DG (1976), Resoluciones libres finitas , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-60487-1, MR 0460383