En la geometría (poliédrica) , una bandera es una secuencia de caras de un politopo , cada una contenida en la siguiente, con exactamente una cara de cada dimensión.
Más formalmente, una bandera ψ de un n- politopo es un conjunto { F −1 , F 0 , ..., F n } tal que F i ≤ F i +1 (−1 ≤ i ≤ n - 1) y allí es precisamente un F i en ψ para cada i , (−1 ≤ i ≤ n ). Sin embargo, dado que la cara mínima F −1 y la cara máxima F ndebe estar en cada bandera, a menudo se omiten de la lista de caras, como una forma abreviada. Estos dos últimos se denominan caras impropias .
Por ejemplo, una bandera de un poliedro comprende un vértice, un borde incidente a ese vértice y una cara poligonal incidente a ambos, más las dos caras impropias.
Un politopo puede considerarse regular si, y solo si, su grupo de simetría es transitivo en sus banderas. Esta definición excluye los politopos quirales .
Geometría de incidencia
En el ajuste más abstracta de geometría incidencia , que es un conjunto que tiene una simétrica y reflexiva relación llamada incidencia definida en sus elementos, una bandera es un conjunto de elementos que son mutuamente incidente. [1] Este nivel de abstracción generaliza tanto el concepto poliédrico dado anteriormente como el concepto de bandera relacionado del álgebra lineal.
Una bandera es máxima si no está contenida en una bandera más grande. Una geometría de incidencia (Ω, I ) tiene rango r si Ω se puede dividir en conjuntos Ω 1 , Ω 2 , ..., Ω r , de modo que cada bandera máxima de la geometría interseca cada uno de estos conjuntos en exactamente un elemento. En este caso, los elementos del conjunto Ω j se denominan elementos de tipo j .
En consecuencia, en una geometría de rango r , cada bandera máxima tiene exactamente r elementos.
Una geometría de incidencia de rango 2 se denomina comúnmente estructura de incidencia con elementos de tipo 1 denominados puntos y elementos de tipo 2 denominados bloques (o líneas en algunas situaciones). [2] Más formalmente,
- Una estructura de incidencia es un triple D = ( V , B , I ) en la que V y B son dos conjuntos disjuntos y I es una relación binaria entre V y B , es decir, I ⊆ V × B . Los elementos de V serán llamados puntos , los de B bloques y los de I banderas . [3]
Notas
- ^ Beutelspacher y Rosenbaum 1998 , pág. 3
- ^ Beutelspacher y Rosenbaum 1998 , pág. 5
- ^ Beth, Thomas; Jungnickel, Dieter ; Lenz, Hanfried (1986). Teoría del diseño . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 15. . 2ª ed. (1999) ISBN 978-0-521-44432-3
Referencias
- Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Geometría proyectiva: de los cimientos a las aplicaciones , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-48277-1
- Peter R. Cromwell, Polyhedra , Cambridge University Press 1997, ISBN 0-521-55432-2
- Peter McMullen , Egon Schulte, Politopos regulares abstractos , Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0