En la teoría de grupos , el grupo de simetría de un objeto geométrico es el grupo de todas las transformaciones bajo las cuales el objeto es invariante , dotado de la operación grupal de composición . Tal transformación es un mapeo invertible del espacio ambiental que lleva el objeto a sí mismo y que conserva toda la estructura relevante del objeto. Una notación frecuente para el grupo de simetría de un objeto X es G = Sym ( X ).
Para un objeto en un espacio métrico , sus simetrías forman un subgrupo del grupo de isometría del espacio ambiental. Este artículo considera principalmente los grupos de simetría en la geometría euclidiana , pero el concepto también puede estudiarse para tipos más generales de estructura geométrica.
Introducción
Consideramos que los "objetos" que poseen simetría son figuras geométricas, imágenes y patrones, como un patrón de papel tapiz . Para la simetría de los objetos físicos, también se puede tomar su composición física como parte del patrón. (Un patrón puede especificarse formalmente como un campo escalar , una función de posición con valores en un conjunto de colores o sustancias; como un campo vectorial ; o como una función más general en el objeto). El grupo de isometrías del espacio induce un acción de grupo sobre los objetos en él, y el grupo de simetría Sym ( X ) consiste en esas isometrías que mapean X a sí mismo (además de mapear cualquier patrón adicional a sí mismo). Decimos X es invariante bajo un mapeo de este tipo, y el mapeo es una simetría de X .
Lo anterior a veces se denomina grupo de simetría completo de X para enfatizar que incluye isometrías de inversión de orientación (reflejos, reflejos de deslizamiento y rotaciones incorrectas ), siempre que esas isometrías mapeen esta X particular a sí misma. El subgrupo de simetrías que conservan la orientación (traslaciones, rotaciones y composiciones de estas) se denomina grupo de simetría adecuado . Un objeto es quiral cuando no tiene simetrías de inversión de orientación , de modo que su grupo de simetría adecuado es igual a su grupo de simetría completo.
Cualquier grupo de simetría cuyos elementos tengan un punto fijo común , lo cual es cierto si el grupo es finito o la figura está acotada, se puede representar como un subgrupo del grupo ortogonal O ( n ) eligiendo el origen como un punto fijo. El grupo de simetría adecuado es entonces un subgrupo del grupo ortogonal especial SO ( n ), y se denomina grupo de rotación de la figura.
En un grupo de simetría discreta , los puntos simétricos a un punto dado no se acumulan hacia un punto límite. Es decir, cada órbita del grupo (las imágenes de un punto dado debajo de todos los elementos del grupo) forma un conjunto discreto . Todos los grupos de simetría finitos son discretos.
Los grupos de simetría discreta vienen en tres tipos: (1) grupos de puntos finitos , que incluyen sólo rotaciones, reflejos, inversiones y rotainversiones , es decir, los subgrupos finitos de O ( n ); (2) grupos de celosía infinitos , que incluyen solo traducciones; y (3) grupos espaciales infinitos que contienen elementos de ambos tipos anteriores, y quizás también transformaciones adicionales como desplazamientos de tornillos y reflejos de deslizamiento. También hay grupos de simetría continuos (grupos de Lie ), que contienen rotaciones de ángulos arbitrariamente pequeños o traslaciones de distancias arbitrariamente pequeñas. Un ejemplo es O (3) , el grupo de simetría de una esfera. Los grupos de simetría de objetos euclidianos pueden clasificarse completamente como los subgrupos del grupo euclidiano E ( n ) (el grupo de isometría de R n ).
Dos figuras geométricas tienen el mismo tipo de simetría cuando sus grupos de simetría son subgrupos conjugados del grupo euclidiano: es decir, cuando los subgrupos H 1 , H 2 están relacionados por H 1 = g −1 H 2 g para algunos g en E ( n ). Por ejemplo:
- dos figuras 3D tienen simetría de espejo, pero con respecto a diferentes planos de espejo.
- dos figuras 3D tienen simetría rotacional triple , pero con respecto a diferentes ejes.
- dos patrones 2D tienen simetría de traslación, cada uno en una dirección; los dos vectores de traslación tienen la misma longitud pero una dirección diferente.
En las siguientes secciones, solo consideramos los grupos de isometría cuyas órbitas están topológicamente cerradas , incluidos todos los grupos de isometría discretos y continuos. Sin embargo, esto excluye, por ejemplo, el grupo de traducciones 1D por un número racional ; tal figura no cerrada no se puede dibujar con una precisión razonable debido a su detalle arbitrariamente fino.
Una dimensión
Los grupos de isometría en una dimensión son:
- el grupo cíclico trivial C 1
- los grupos de dos elementos generados por una reflexión; son isomorfos con C 2
- los infinitos grupos discretos generados por una traducción; son isomorfos con Z , el grupo aditivo de los enteros
- los infinitos grupos discretos generados por una traslación y una reflexión; son isomorfos con el grupo diedro generalizado de Z , Dih ( Z ), también denotado por D ∞ (que es un producto semidirecto de Z y C 2 ).
- el grupo generado por todas las traducciones (isomorfo con el grupo aditivo de los números reales R ); este grupo no puede ser el grupo de simetría de una figura euclidiana, ni siquiera dotado de un patrón: tal patrón sería homogéneo, por lo tanto, también podría reflejarse. Sin embargo, un campo vectorial unidimensional constante tiene este grupo de simetría.
- el grupo generado por todas las traducciones y reflexiones en puntos; son isomorfos con el grupo diedro generalizado Dih ( R ).
Ver también grupos de simetría en una dimensión .
Dos dimensiones
Hasta la conjugación, los grupos de puntos discretos en el espacio bidimensional son las siguientes clases:
- grupos cíclicos C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , ... donde C n consiste en todas las rotaciones alrededor de un punto fijo por múltiplos del ángulo 360 ° / n
- grupos diedros D 1 , D 2 , D 3 , D 4 , ..., donde D n (de orden 2 n ) consiste en las rotaciones en C n junto con las reflexiones en n ejes que pasan por el punto fijo.
C 1 es el grupo trivial que contiene solo la operación de identidad, que ocurre cuando la figura es asimétrica, por ejemplo, la letra "F". C 2 es el grupo de simetría de la letra "Z", C 3 el de un triskelion , C 4 de una esvástica , y C 5 , C 6 , etc. son los grupos de simetría de figuras similares a la esvástica con cinco, seis, etc. brazos en lugar de cuatro.
D 1 es el grupo de 2 elementos que contiene la operación de identidad y un solo reflejo, que ocurre cuando la figura tiene un solo eje de simetría bilateral , por ejemplo, la letra "A".
D 2 , que es isomorfo al grupo de cuatro de Klein , es el grupo de simetría de un rectángulo no equilátero. Esta figura tiene cuatro operaciones de simetría: la operación de identidad, un doble eje de rotación y dos planos de espejo no equivalentes.
D 3 , D 4, etc. son los grupos de simetría de los polígonos regulares .
Dentro de cada uno de estos tipos de simetría, existen dos grados de libertad para el centro de rotación, y en el caso de los grupos diedros, uno más para las posiciones de los espejos.
Los restantes grupos de isometría en dos dimensiones con punto fijo son:
- el grupo ortogonal especial SO (2) que consta de todas las rotaciones alrededor de un punto fijo; también se le llama grupo circular S 1 , el grupo multiplicativo de números complejos de valor absoluto 1. Es el grupo de simetría propio de un círculo y el equivalente continuo de C n . No existe una figura geométrica que tenga como grupo de simetría completo el grupo circular, pero para un campo vectorial puede aplicarse (ver el caso tridimensional a continuación).
- el grupo ortogonal O (2) que consiste en todas las rotaciones alrededor de un punto fijo y reflexiones en cualquier eje a través de ese punto fijo. Este es el grupo de simetría de un círculo. También se le llama Dih (S 1 ) ya que es el grupo diedro generalizado de S 1 .
Las figuras no acotadas pueden tener grupos de isometría, incluidas las traducciones; estos son:
- los 7 grupos de frisos
- los 17 grupos de fondos de pantalla
- para cada uno de los grupos de simetría en una dimensión, la combinación de todas las simetrías en ese grupo en una dirección, y el grupo de todas las traslaciones en la dirección perpendicular
- lo mismo ocurre con también reflejos en una línea en la primera dirección.
Tres dimensiones
Hasta la conjugación, el conjunto de grupos de puntos tridimensionales consta de 7 series infinitas y otros 7 grupos individuales. En cristalografía , solo se consideran aquellos grupos de puntos que conservan alguna red cristalina (por lo que sus rotaciones pueden tener solo el orden 1, 2, 3, 4 o 6). Esta restricción cristalográfica de las familias infinitas de grupos de puntos generales da como resultado 32 grupos de puntos cristalográficos (27 grupos individuales de las 7 series y 5 de los otros 7 individuos).
Los grupos de simetría continua con un punto fijo incluyen los de:
- simetría cilíndrica sin un plano de simetría perpendicular al eje, esto se aplica, por ejemplo, a una botella de cerveza
- simetría cilíndrica con un plano de simetría perpendicular al eje
- simetría esférica
Para objetos con patrones de campo escalar , la simetría cilíndrica también implica simetría de reflexión vertical. Sin embargo, esto no es cierto para los patrones de campo vectorial : por ejemplo, en coordenadas cilíndricas con respecto a algún eje, el campo vectorial tiene simetría cilíndrica con respecto al eje siempre que y tienen esta simetría (sin dependencia de ); y tiene simetría de reflexión solo cuando.
Para la simetría esférica, no existe tal distinción: cualquier objeto con patrón tiene planos de simetría de reflexión.
Los grupos de simetría continua sin un punto fijo incluyen aquellos con un eje de tornillo , como una hélice infinita . Véanse también los subgrupos del grupo euclidiano .
Grupos de simetría en general
En contextos más amplios, un grupo de simetría puede ser cualquier tipo de grupo de transformación o grupo de automorfismo . Cada tipo de estructura matemática tiene asignaciones invertibles que preservan la estructura. A la inversa, especificar el grupo de simetría puede definir la estructura, o al menos aclarar el significado de congruencia o invariancia geométrica; esta es una forma de ver el programa Erlangen .
Por ejemplo, los objetos en una geometría hiperbólica no euclidiana tienen grupos de simetría fucsianos , que son los subgrupos discretos del grupo de isometría del plano hiperbólico, conservando la distancia hiperbólica en lugar de euclidiana. (Algunos están representados en dibujos de Escher .) De manera similar, los grupos de automorfismos de geometrías finitas conservan familias de conjuntos de puntos (subespacios discretos) en lugar de subespacios, distancias o productos internos euclidianos. Al igual que para las figuras euclidianas, los objetos en cualquier espacio geométrico tienen grupos de simetría que son subgrupos de las simetrías del espacio ambiental.
Otro ejemplo de un grupo de simetría es el de un grafo combinatorio : un grafo de simetría es una permutación de los vértices que lleva de aristas a aristas. Cualquier grupo presentado de forma finita es el grupo de simetría de su gráfico de Cayley ; el grupo libre es el grupo de simetría de un gráfico de árbol infinito .
Estructura del grupo en términos de simetrías
El teorema de Cayley establece que cualquier grupo abstracto es un subgrupo de las permutaciones de algún conjunto X , por lo que puede considerarse como el grupo de simetría de X con alguna estructura extra. Además, muchas características abstractas del grupo (definidas puramente en términos de la operación del grupo) pueden interpretarse en términos de simetrías.
Por ejemplo, sea G = Sym ( X ) el grupo de simetría finito de una figura X en un espacio euclidiano, y sea H ⊂ G un subgrupo. Entonces H se puede interpretar como el grupo de simetría de X + , un "decorado" versión de X . Tal decoración se puede construir como sigue. Agregue algunos patrones como flechas o colores a X para romper toda simetría, obteniendo una figura X # con Sym ( X # ) = {1}, el subgrupo trivial; es decir, gX # ≠ X # para todos los g ∈ G no triviales . Ahora obtenemos:
Los subgrupos normales también pueden caracterizarse en este marco. El grupo de simetría de la traducción gX + es el subgrupo conjugado gHg −1 . Por tanto, H es normal siempre que:
es decir, cada vez que la decoración de X + puede extraerse en cualquier orientación, con respecto a cualquier lado o característica de X , y todavía dan el mismo grupo de simetría gEi -1 = H .
Como ejemplo, considere el grupo diedro G = D 3 = Sym ( X ), donde X es un triángulo equilátero. Podemos decorar esto con una flecha en un borde, obteniendo una figura asimétrica X # . Dejando que τ ∈ G sea el reflejo del borde con flechas, la figura compuesta X + = X # ∪ τ X # tiene una flecha bidireccional en ese borde, y su grupo de simetría es H = {1, τ}. Este subgrupo no es normal, ya que gX + puede tener la bi-flecha en un borde diferente, dando un grupo de simetría de reflexión diferente.
Sin embargo, dejando que H = {1, ρ, ρ 2 } ⊂ D 3 sea el subgrupo cíclico generado por una rotación, la figura decorada X + consiste en un ciclo de 3 flechas con orientación consistente. Entonces H es normal, puesto que el dibujo ciclo de una tal con cualquier orientación da el mismo grupo de simetría H .
Ver también
- Sistema de cristal
- Isometría del plano euclidiano
- Puntos fijos de grupos de isometría en el espacio euclidiano
- Simetría molecular
- Grupo de permutación
- Grupo simétrico
- Simetría en mecánica cuántica
Otras lecturas
- Burns, G .; Glazer, AM (1990). Grupos espaciales para científicos e ingenieros (2ª ed.). Boston: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-145761-3.
- Clegg, W. (1998). Determinación de la estructura cristalina (Oxford Chemistry Primer) . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 0-19-855901-1.
- O'Keeffe, M .; Hyde, BG (1996). Estructuras de cristal; I. Patrones y simetría . Washington, DC: Sociedad Mineralógica de América, Serie de monografías. ISBN 0-939950-40-5.
- Miller, Willard Jr. (1972). Grupos de simetría y sus aplicaciones . Nueva York: Academic Press. OCLC 589081 . Archivado desde el original el 17 de febrero de 2010 . Consultado el 28 de septiembre de 2009 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Grupo de simetría" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Grupo tetraédrico" . MathWorld .
- Descripción general de los 32 grupos de puntos cristalográficos : forman las primeras partes (además de omitir n = 5) de las 7 series infinitas y 5 de los 7 grupos de puntos 3D separados