Complejo de camarilla
Los complejos de pandillas , los complejos de banderas y los hipergráficos conformes son objetos matemáticos estrechamente relacionados en la teoría de grafos y la topología geométrica, y cada uno de ellos describe las pandillas (subgrafias completas) de un grafo no dirigido .
El complejo clique X ( G ) de un grafo no dirigido G es un extracto simplicial complejo (es decir, una familia de conjuntos finitos cerrada bajo la operación de tomar subconjuntos), formado por los conjuntos de vértices en las camarillas de G . Cualquier subconjunto de una camarilla es en sí mismo una camarilla, por lo que esta familia de conjuntos cumple con el requisito de un complejo simplicial abstracto de que cada subconjunto de un conjunto en la familia también debe estar en la familia. El complejo de la camarilla también puede verse como un espacio topológico en el que cada camarilla de k vértices está representada por un simplex de dimensión k - 1. El esqueleto 1 de X ( G) (también conocido como el gráfico subyacente del complejo) es un gráfico no dirigido con un vértice para cada conjunto de 1 elemento de la familia y un borde para cada conjunto de 2 elementos de la familia; es isomorfo a G . [1]
Los complejos de camarilla también se conocen como complejos de Whitney , en honor a Hassler Whitney . Una triangulación de Whitney o una triangulación limpia de una variedad bidimensional es una incrustación de un gráfico G en la variedad de tal manera que cada cara es un triángulo y cada triángulo es una cara. Si una gráfica G tiene una triangulación Whitney, debe formar un complejo de célula que es isomorfo al complejo Whitney de G . En este caso, el complejo (visto como un espacio topológico) es homeomorfo a la variedad subyacente. Un gráfico Gtiene un complejo de camarilla de 2 variedades y se puede incrustar como una triangulación de Whitney, si y solo si G es localmente cíclico ; esto significa que, para cada vértice v en el gráfico, el subgrafo inducido formado por los vecinos de v forma un solo ciclo. [2]
Un complejo de banderas es un complejo simplicial abstracto de modo que cada conjunto de vértices en el que todos los pares son caras del complejo es también en sí mismo una cara del complejo. Por lo tanto, los complejos de bandera y los complejos de camarilla son esencialmente lo mismo. Cualquier complejo de bandera es el complejo de camarilla de su 1-esqueleto. Sin embargo, en muchos casos es conveniente definir un complejo de banderas directamente a partir de algunos datos que no sean un gráfico, en lugar de hacerlo indirectamente como el complejo de pandillas de un gráfico derivado de esos datos. [3]
El gráfico principal G ( H ) de un hipergráfico es el gráfico en el mismo conjunto de vértices que tiene como bordes los pares de vértices que aparecen juntos en el mismo hipergráfico . Se dice que un hipergrafo es conforme si cada pandilla máxima de su grafo primario es un hipergrafo, o lo que es lo mismo, si cada camarilla de su grafo primario está contenido en algún hipergrafo. [4] Si se requiere que el hipergráfico esté cerrado hacia abajo (por lo que contiene todas las hipergrafias que están contenidas en alguna hipergrafia) entonces el hipergrafo es conforme precisamente cuando es un complejo de banderas. Esto relaciona el lenguaje de los hipergráficos con el lenguaje de los complejos simpliciales.
La subdivisión barycentric de cualquier célula complejo C es un complejo bandera que tiene un vértice por célula de C . Una colección de vértices de la subdivisión baricéntrica forma un símplex si y solo si la colección correspondiente de celdas de C forma una bandera (una cadena en el orden de inclusión de las celdas). [3] En particular, la subdivisión baricéntrica de un complejo celular en una variedad 2 da lugar a una triangulación de Whitney de la variedad.
