En matemáticas , la topología generaliza la noción de triangulación de forma natural de la siguiente manera:
- Una triangulación de un espacio topológico X es un complejo simplicial K , homeomorfa a X , junto con un homeomorfismo h : K → X .
La triangulación es útil para determinar las propiedades de un espacio topológico. Por ejemplo, se pueden calcular grupos de homología y cohomología de un espacio triangulado utilizando teorías de homología y cohomología simplicial en lugar de teorías de homología y cohomología más complicadas.
Estructuras lineales por partes
Para las variedades topológicas , existe una noción de triangulación un poco más fuerte: una triangulación lineal por partes (a veces simplemente llamada triangulación) es una triangulación con la propiedad extra definida para las dimensiones 0, 1, 2,. . . inductivamente: que el enlace de cualquier simplex es una esfera lineal por partes. El enlace de un simplex s en un simplicial complejo K es un subcomplex de K que consiste en la simplices t que son disjunta de s y de tal manera que ambos s y t son caras de algunos simplex de dimensiones superiores en K . Por ejemplo, en una variedad lineal bidimensional por partes formada por un conjunto de vértices, aristas y triángulos , el vínculo de un vértice s consiste en el ciclo de vértices y aristas que rodean a s : si t es un vértice en este ciclo, t y s son ambos puntos extremos de un borde de K , y si t es una ventaja en este ciclo, y s son las dos caras de un triángulo de K . Este ciclo es homeomórfico a un círculo, que es una esfera unidimensional. Pero en este artículo, la palabra "triangulación" se usa simplemente para significar homeomorfo a un complejo simplicial.
Para variedades de dimensión 4 como máximo, cualquier triangulación de una variedad es una triangulación lineal por partes: en cualquier complejo simplicial homeomórfico a una variedad, el vínculo de cualquier simplex solo puede ser homeomórfico a una esfera. Pero en la dimensión n ≥ 5 la suspensión de ( n - 3) pliegues de la esfera de Poincaré es una variedad topológica (homeomorfa a la esfera n ) con una triangulación que no es lineal a trozos: tiene un simplex cuyo enlace es el Poincaré esfera , una variedad tridimensional que no es homeomórfica a una esfera. Este es el teorema de la doble suspensión , debido a James W. Cannon y RD Edwards en la década de 1970. [1] [2] [3] [4] [5]
La cuestión de qué variedades tienen triangulaciones lineales por partes ha llevado a mucha investigación en topología. Variedades diferenciables (Stewart Cairns, JHC Whitehead , LEJ Brouwer , Hans Freudenthal , James Munkres ), [6] [7] y conjuntos subanalíticos ( Heisuke Hironaka y Robert Hardt) admiten una triangulación lineal por partes, técnicamente pasando por la categoría PDIFF . Las variedades topológicas de dimensiones 2 y 3 son siempre triangulables mediante una triangulación esencialmente única (hasta una equivalencia lineal por partes); esto fue probado para superficies por Tibor Radó en la década de 1920 y para tres variedades por Edwin E. Moise y RH Bing en la década de 1950, con simplificaciones posteriores de Peter Shalen . [8] [9] Como se muestra de forma independiente por James Munkres , Steve Smale y JHC Whitehead , [10] [11] cada una de estas variedades admite una estructura suave , única hasta el difeomorfismo . [9] [12] En la dimensión 4, sin embargo, la variedad E8 no admite una triangulación, y algunas variedades 4 compactas tienen un número infinito de triangulaciones, todas inequívocas lineales a trozos. En una dimensión mayor que 4, Rob Kirby y Larry Siebenmann construyeron colectores que no tienen triangulaciones lineales por partes (ver Hauptvermutung ). Además, Ciprian Manolescu demostró que existen variedades compactas de dimensión 5 (y por lo tanto de cada dimensión mayor que 5) que no son homeomorfas a un complejo simplicial, es decir, que no admiten una triangulación. [13]
Métodos explícitos de triangulación.
Un caso especial importante de triangulación topológica es el de superficies bidimensionales o 2-variedades cerradas . Existe una prueba estándar de que las superficies compactas lisas se pueden triangular. [14] De hecho, si a la superficie se le da una métrica de Riemann , cada punto x está contenido dentro de un pequeño triángulo geodésico convexo que se encuentra dentro de una bola normal con centro x . Los interiores de un número finito de triángulos cubrirán la superficie; dado que los bordes de diferentes triángulos coinciden o se cruzan transversalmente, este conjunto finito de triángulos se puede utilizar de forma iterativa para construir una triangulación.
Otro procedimiento simple para triangular variedades diferenciables fue dado por Hassler Whitney en 1957, [15] basado en su teorema de incrustación . De hecho, si X es un cerrado n - subvariedad de R m , subdividir un cúbica celosía en R m en simplices para dar una triangulación de R m . Tomando la malla de la celosía lo suficientemente pequeña y moviendo levemente muchos de los vértices finitos, la triangulación estará en posición general con respecto a X : por lo tanto, ningún simple de dimensión < s = m - n interseca X y cada s -simplex interseca a X
- lo hace exactamente en un punto interior;
- forma un ángulo estrictamente positivo con el plano tangente;
- mentiras en su totalidad dentro de alguna entorno tubular de X .
Estos puntos de intersección y sus baricentros (correspondientes a simplices de dimensiones superiores que intersecan X ) generan un subcomplejo simplicial n- dimensional en R m , que se encuentra completamente dentro de la vecindad tubular. La triangulación es dada por la proyección de este complejo simplicial en X .
Gráficos sobre superficies
Una triangulación de Whitney o triangulación limpia de una superficie es una incrustación de un gráfico en la superficie de tal manera que las caras de la incrustación son exactamente las camarillas del gráfico. [16] [17] [18] De manera equivalente, cada cara es un triángulo, cada triángulo es una cara y la gráfica no es en sí misma una camarilla. El complejo de camarilla del gráfico es entonces homeomórfico a la superficie. Los esqueletos 1 de las triangulaciones de Whitney son exactamente los gráficos cíclicos locales distintos de K 4 .
Referencias
- ^ JW Cannon, El problema del reconocimiento: ¿qué es una variedad topológica? Boletín de la American Mathematical Society , vol. 84 (1978), núm. 5, págs. 832–866.
- ^ JW Cannon, Reducción de descomposiciones celulares de colectores. Codimensión tres. Annals of Mathematics (2), 110 (1979), no. 1, 83-112.
- ^ Edwards, Robert D. (2006), Suspensiones de esferas de homología , arXiv : math / 0610573( reimpresión de manuscritos privados inéditos de la década de 1970 )
- ^ Edwards, RD (1980), "La topología de variedades y mapas similares a células", en Lehto, O. (ed.), Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, Helsinki, 1978 , Acad. Sci. Fenn, págs. 111-127
- ^ Cannon, JW (1978), "Σ 2 H 3 = S 5 / G", Rocky Mountain J. Math. , 8 : 527–532
- ^ Whitehead, JHC (octubre de 1940), "On C 1 -Complexes", Annals of Mathematics , Second Series, 41 (4): 809–824, doi : 10.2307 / 1968861 , JSTOR 1968861
- ^ Munkres, James (1966), Topología diferencial elemental, edición revisada , Annals of Mathematics Studies 54, Princeton University Press , ISBN 0-691-09093-9
- ^ Moise, Edwin (1977), Topología geométrica en las dimensiones 2 y 3 , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90220-1
- ^ a b Thurston, William (1997), Geometría y topología tridimensionales, vol. Yo , Princeton University Press, ISBN 0-691-08304-5
- ^ Munkres, James (1960), "Obstrucciones al suavizado de homeomorfismos diferenciables por partes", Annals of Mathematics , 72 (3): 521–554, doi : 10.2307 / 1970228 , JSTOR 1970228
- ^ Whitehead, JHC (1961), "Manifolds with Transverse Fields in Euclidean Space", The Annals of Mathematics , 73 (1): 154–212, doi : 10.2307 / 1970286 , JSTOR 1970286
- ^ Milnor, John W. (2007), Obras completas, vol. III, Topología diferencial , Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 0-8218-4230-7
- ^ Manolescu, Ciprian (2016), "Homología de Pin (2) -equivariante de Seiberg-Witten Floer y la conjetura de la triangulación", J. Amer. Matemáticas. Soc. , 29 : 147–176, arXiv : 1303.2354 , doi : 10.1090 / jams829
- ^ Jost, Jürgen (1997), superficies compactas de Riemann , Springer-Verlag, ISBN 3-540-53334-6
- ^ Whitney, Hassler (1957), Teoría de la integración geométrica , Princeton University Press, págs. 124-135
- ^ Hartsfeld, N .; Ringel, G. (1991), "Triangulaciones limpias", Combinatorica , 11 (2): 145-155, doi : 10.1007 / BF01206358
- ^ Larrión, F .; Neumann-Lara, V .; Pizaña, MA (2002), "Triangulaciones de Whitney, circunferencia local y gráficas de clicas iteradas", Matemáticas discretas , 258 : 123-135, doi : 10.1016 / S0012-365X (02) 00266-2
- ^ Malnič, Aleksander; Mohar, Bojan (1992), "Generación de triangulaciones localmente cíclicas de superficies", Journal of Combinatorial Theory, Serie B , 56 (2): 147-164, doi : 10.1016 / 0095-8956 (92) 90015-P
Otras lecturas
- Dieudonné, Jean (1989), A History of Algebraic and Differential Topology, 1900-1960 , Birkhäuser, ISBN 0-8176-3388-X