La solución Flamant proporciona expresiones para las tensiones y desplazamientos en una cuña elástica lineal cargada por fuerzas puntuales en su extremo afilado. Esta solución fue desarrollada por A. Flamant [1] en 1892 modificando la solución tridimensional de Boussinesq .
Cuña elástica cargada por dos fuerzas en la punta
Las tensiones predichas por la solución Flamant son (en coordenadas polares )
dónde son constantes que se determinan a partir de las condiciones de contorno y la geometría de la cuña (es decir, los ángulos ) y satisfacer
dónde son las fuerzas aplicadas.
El problema de la cuña es auto-similar y no tiene una escala de longitud inherente. Además, todas las cantidades se pueden expresar en forma de variables separadas. Las tensiones varían según.
Semiplano elástico cargado por dos fuerzas puntuales.
Para el caso especial donde , , la cuña se convierte en un semiplano con una fuerza normal y una fuerza tangencial. En ese caso
Por lo tanto, las tensiones son
y los desplazamientos son (usando la solución de Michell )
La La dependencia de los desplazamientos implica que el desplazamiento crece a medida que uno se aleja del punto de aplicación de la fuerza (y es ilimitado en el infinito). Esta característica de la solución Flamant es confusa y no parece física. Para una discusión sobre el tema, consulte http://imechanica.org/node/319 .
Desplazamientos en la superficie del semiplano
Los desplazamientos en el Las direcciones en la superficie del semiplano están dadas por
dónde
es la razón de Poisson ,es el módulo de corte , y
Si asumimos que las tensiones varían como , podemos elegir términos que contengan en las tensiones de la solución de Michell . Entonces, la función de estrés de Airy se puede expresar como
Por lo tanto, de las tablas de la solución de Michell , tenemos
Las constantes Entonces, en principio, se puede determinar a partir de la geometría de la cuña y las condiciones de contorno aplicadas .
Sin embargo, las cargas concentradas en el vértice son difíciles de expresar en términos de condiciones de contorno de tracción porque
- la unidad normal hacia afuera en el vértice no está definida
- las fuerzas se aplican en un punto (que tiene área cero) y, por lo tanto, la tracción en ese punto es infinita.
Cuña elástica acotada para equilibrio de fuerzas y momentos.
Para solucionar este problema, consideramos una región acotada de la cuña y consideramos el equilibrio de la cuña acotada. [2] [3] Deje que la cuña acotada tenga dos superficies libres de tracción y una tercera superficie en forma de arco de círculo con radio. A lo largo del arco del círculo, la unidad normal hacia afuera es donde los vectores base son . Las tracciones en el arco son
A continuación, examinamos el equilibrio de fuerza y momento en la cuña acotada y obtenemos
Requerimos que estas ecuaciones se satisfagan para todos los valores de y así satisfacer las condiciones de contorno .
Las condiciones de contorno sin tracción en los bordes. y también implica que
excepto en el punto .
Si asumimos que en todas partes, entonces se satisfacen las condiciones sin tracción y la ecuación de equilibrio de momento y nos quedamos con
y a lo largo de excepto en el punto . Pero el campoen todas partes también satisface las ecuaciones de equilibrio de fuerzas. Por tanto, esta debe ser la solución. Además, la suposición implica que .
Por lo tanto,
Para encontrar una solución particular para tenemos que insertar la expresión para en las ecuaciones de equilibrio de fuerzas para obtener un sistema de dos ecuaciones que deben resolverse para :
Fuerzas que actúan sobre un semiplano
Si tomamos y , el problema se convierte en uno donde una fuerza normal y una fuerza tangencial actuar en un semiplano. En ese caso, las ecuaciones de equilibrio de fuerzas toman la forma
Por lo tanto
Las tensiones de esta situación son
Usando las tablas de desplazamiento de la solución de Michell , los desplazamientos para este caso están dados por
Desplazamientos en la superficie del semiplano
Para encontrar expresiones para los desplazamientos en la superficie del semiplano, primero encontramos los desplazamientos para positivo () y negativo () teniendo en cuenta que a lo largo de estos lugares.
Para tenemos
Para tenemos
Podemos hacer que los desplazamientos sean simétricos alrededor del punto de aplicación de la fuerza agregando desplazamientos de cuerpos rígidos (lo que no afecta las tensiones)
y eliminar los desplazamientos redundantes del cuerpo rígido
Luego, los desplazamientos en la superficie se pueden combinar y tomar la forma
dónde