Auto-semejanza

La totalidad de un objeto es matemáticamente similar a una parte de sí mismo.

Una curva de Koch tiene una auto-semejanza que se repite infinitamente cuando se amplía.

Auto-semejanza estándar (trivial). ^[1]

En matemáticas , un objeto auto-similar es exactamente o aproximadamente similar a una parte de sí mismo (es decir, el todo tiene la misma forma que una o más de las partes). Muchos objetos del mundo real, como las costas , son estadísticamente auto-similares: partes de ellos muestran las mismas propiedades estadísticas en muchas escalas. ^[2] La autosimilitud es una propiedad típica de los fractales . La invariancia de escala es una forma exacta de auto-semejanza en la que a cualquier aumento hay una parte más pequeña del objeto que es similar al todo. Por ejemplo, un lado del copo de nieve de Koch es simétricoe invariante de escala; Puede ampliarse continuamente 3 veces sin cambiar de forma. La similitud no trivial evidente en los fractales se distingue por su fina estructura o detalle en escalas arbitrariamente pequeñas. Como contraejemplo , mientras que cualquier parte de una línea recta puede parecerse al todo, no se revelan más detalles.

Se dice que un fenómeno que se desarrolla en el tiempo exhibe auto-similitud si el valor numérico de cierta cantidad observable medida en diferentes momentos es diferente pero la correspondiente cantidad adimensional al valor dado de permanece invariante. Ocurre si la cantidad exhibe escalado dinámico . La idea es solo una extensión de la idea de similitud de dos triángulos. ^{[3] [4] [5]} Tenga en cuenta que dos triángulos son similares si los valores numéricos de sus lados son diferentes, sin embargo, las cantidades adimensionales correspondientes, como sus ángulos, coinciden.${\displaystyle f(x,t)}$${\displaystyle x/t^{z}}$${\displaystyle f(x,t)}$

Peitgen y col. explicar el concepto como tal:

Si las partes de una figura son pequeñas réplicas del todo, entonces la figura se llama auto-similar ... Una figura es estrictamente auto-similar si la figura puede descomponerse en partes que son réplicas exactas del todo. Cualquier parte arbitraria contiene una réplica exacta de la figura completa. ^[6]

Dado que matemáticamente, un fractal puede mostrar auto-semejanza bajo un aumento indefinido, es imposible recrear esto físicamente. Peitgen y col. sugiera estudiar la auto-semejanza usando aproximaciones:

Para dar un significado operativo a la propiedad de la auto-semejanza, estamos necesariamente restringidos a tratar con aproximaciones finitas de la figura límite. Esto se hace usando el método que llamaremos autosemejanza de caja donde las medidas se realizan en etapas finitas de la figura usando cuadrículas de varios tamaños. ^[7]

Este vocabulario fue introducido por Benoit Mandelbrot en 1964. ^[8]

Autoafinidad

Un fractal auto-afín con dimensión de Hausdorff = 1.8272.

En matemáticas , la autoafinidad es una característica de un fractal cuyas piezas se escalan en diferentes cantidades en las direcciones xe y. Esto significa que para apreciar la auto-similitud de estos objetos fractales, deben ser reescalados usando una transformación afín anisotrópica .

Definición

Un espacio topológico compacto X es auto-similar si existe un conjunto finito S que indexa un conjunto de homeomorfismos no sobreyectivos para los cuales ${\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}$

${\displaystyle X=\bigcup _{s\in S}f_{s}(X)}$

Si , llamamos a X auto-similar si es el único subconjunto no vacío de Y tal que se cumple la ecuación anterior . Nosotros llamamos${\displaystyle X\subset Y}$ ${\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}$

${\displaystyle {\mathfrak {L}}=(X,S,\{f_{s}:s\in S\})}$

una estructura auto-similar . Los homeomorfismos se pueden iterar , lo que da como resultado un sistema de funciones iteradas . La composición de funciones crea la estructura algebraica de un monoide . Cuando el conjunto S tiene solo dos elementos, el monoide se conoce como monoide diádico . El monoide diádico se puede visualizar como un árbol binario infinito ; más generalmente, si el conjunto S tiene p elementos, entonces el monoide puede representarse como un árbol p-ádico .

Los automorfismos del monoide diádico es el grupo modular ; los automorfismos se pueden representar como rotaciones hiperbólicas del árbol binario.

Una noción más general que la auto-semejanza es la auto-afinidad .

Ejemplos

Auto-semejanza en el conjunto de Mandelbrot mostrado al hacer zoom en el punto Feigenbaum en (−1.401155189 ..., 0)

Una imagen del helecho Barnsley que exhibe una auto-semejanza afín

El conjunto de Mandelbrot también se asemeja a sí mismo en torno a los puntos Misiurewicz .

La auto-similitud tiene consecuencias importantes para el diseño de redes de computadoras, ya que el tráfico de red típico tiene propiedades auto-similares. Por ejemplo, en la ingeniería de teletráfico , los patrones de tráfico de datos por conmutación de paquetes parecen ser estadísticamente auto-similares. ^[9] Esta propiedad significa que los modelos simples que utilizan una distribución de Poisson son inexactos, y es probable que las redes diseñadas sin tener en cuenta la auto-semejanza funcionen de formas inesperadas.

De manera similar, los movimientos del mercado de valores se describen como mostrando auto-afinidad , es decir, parecen auto-similares cuando se transforman a través de una transformación afín apropiada para el nivel de detalle que se muestra. ^[10] Andrew Lo describe la auto-semejanza del rendimiento del registro del mercado de valores en econometría . ^[11]

Las reglas de subdivisión finitas son una técnica poderosa para construir conjuntos auto-similares, incluidos el conjunto de Cantor y el triángulo de Sierpinski .

Un triángulo subdividido repetidamente usando subdivisión baricéntrica . El complemento de los grandes círculos se convierte en una alfombra de Sierpinski

En cibernética

El modelo de sistema viable de Stafford Beer es un modelo organizacional con una jerarquía afín y auto-similar, donde un sistema viable dado es un elemento del Sistema Uno de un sistema viable un nivel recursivo más arriba, y para quién los elementos de su Sistema Uno son sistemas viables un nivel recursivo más abajo.

En la naturaleza

Primer plano de un brócoli Romanesco .

Más información: Patrones en la naturaleza

La auto-semejanza también se puede encontrar en la naturaleza. A la derecha hay una imagen de un helecho perfectamente auto-similar generada matemáticamente , que tiene un marcado parecido con los helechos naturales. Otras plantas, como el brócoli Romanesco , exhiben una fuerte auto-semejanza.

En música

• Los cánones estrictos muestran varios tipos y cantidades de auto-semejanza, al igual que las secciones de fugas .
• Un tono de Shepard es auto-similar en los dominios de frecuencia o longitud de onda.
• El compositor danés Per Nørgård ha hecho uso de una secuencia entera auto-similar llamada 'serie infinita' en gran parte de su música.
• En el campo de investigación de la recuperación de información musical , la auto-semejanza comúnmente se refiere al hecho de que la música a menudo consta de partes que se repiten en el tiempo. ^[12] En otras palabras, la música es auto-similar bajo la traducción temporal, en lugar de (o además) bajo escala. ^[13]

Ver también

• Efecto Droste
• Proporción áurea
• Dependencia de largo alcance
• Teoría de conjuntos no bien fundada
• Recursividad
• Auto-disimilitud
• Autorreferencia
• Autorreplicación
• Auto-similitud del análisis de datos de red
• Teragon
• Mosaico
• Distribuciones de tweedie
• Ley de Zipf
• Fractal

Referencias

1. Mandelbrot, Benoit B. (1982). La geometría fractal de la naturaleza , p.44. ISBN  978-0716711865 .
2. Mandelbrot, Benoit B. (5 de mayo de 1967). "¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? Autoseimilitud estadística y dimensión fraccionaria" . Ciencia . Series nuevas. 156 (3775): 636–638. Código bibliográfico : 1967Sci ... 156..636M . doi : 10.1126 / science.156.3775.636 . PMID 17837158 . S2CID 15662830 .   PDF
3. Hassan MK, Hassan MZ, Pavel NI (2011). "Escalado dinámico, colapso de datos y auto-similitud en redes Barabasi-Albert". J. Phys. A: Matemáticas. Theor . 44 (17): 175101. arXiv : 1101.4730 . Código bibliográfico : 2011JPhA ... 44q5101K . doi : 10.1088 / 1751-8113 / 44/17/175101 . S2CID 15700641 . 
4. Hassan MK, Hassan MZ (2009). "Aparición del comportamiento fractal en la agregación impulsada por condensación". Phys. Rev. E . 79 (2): 021406. arXiv : 0901.2761 . Código Bibliográfico : 2009PhRvE..79b1406H . doi : 10.1103 / physreve.79.021406 . PMID 19391746 . S2CID 26023004 .  
5. Dayeen FR, Hassan MK (2016). "Multifractalidad, escalado dinámico y estadísticas de vecindad en celosía estocástica plana ponderada". Caos, solitones y fractales . 91 : 228. arXiv : 1409.7928 . Código bibliográfico : 2016CSF .... 91..228D . doi : 10.1016 / j.chaos.2016.06.006 .
6. Peitgen, Heinz-Otto; Jürgens, Hartmut; Saupe, Dietmar; Maletsky, Evan; Perciante, Terry; y Yunker, Lee (1991). Fractales para el aula: actividades estratégicas, volumen uno , p.21. Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-97346-X e ISBN 3-540-97346-X .  
7. Peitgen, et al (1991), p.2-3.
8. Comentario j'ai découvert les fractales, Entrevista de Benoit Mandelbrot, La Recherche https://www.larecherche.fr/math%C3%A9matiques-histoire-des-sciences/%C2%AB-comment-jai-d%C3 % A9couvert-les-fractales-% C2% BB
9. Leland, WE; Taqqu, MS; et al. (Enero de 1995). "Sobre la naturaleza auto-similar del tráfico Ethernet (versión extendida)" (PDF) . Transacciones IEEE / ACM sobre redes . 2 (1): 1-15. doi : 10.1109 / 90.282603 . S2CID 6011907 .  
10. Benoit Mandelbrot (febrero de 1999). "Cómo los fractales pueden explicar lo que está mal con Wall Street" . Scientific American .
11. Campbell, Lo y MacKinlay (1991) " Econometría de los mercados financieros", Princeton University Press. ISBN 978-0691043012 
12. Foote, Jonathan (30 de octubre de 1999). "Visualización de música y audio usando auto-semejanza". Actas de la séptima conferencia internacional ACM sobre Multimedia (Parte 1) - MULTIMEDIA '99 (PDF) . Multimedia '99 Actas de la Séptima Conferencia Internacional ACM sobre Multimedia (Parte 1) . págs. 77–80. CiteSeerX 10.1.1.223.194 . doi : 10.1145 / 319463.319472 . ISBN   978-1581131512. S2CID  3329298 . Archivado (PDF) desde el original el 9 de agosto de 2017.
13. Pareyon, Gabriel (abril de 2011). Sobre la auto-semejanza musical: intersemiosis como sinécdoque y analogía (PDF) . Instituto Internacional de Semiótica en Imatra; Sociedad Semiótica de Finlandia. pag. 240. ISBN  978-952-5431-32-2. Archivado desde el original (PDF) el 8 de febrero de 2017 . Consultado el 30 de julio de 2018 .(Ver también Google Books )

Enlaces externos

• "Chevrones de placa de cobre" : una película de zoom fractal auto-similar
• "Auto-semejanza" - Nuevos artículos sobre la auto-semejanza. Algoritmo de vals

Autoafinidad

• Mandelbrot, Benoit B. (1985). "Autoafinidad y dimensión fractal" (PDF) . Physica Scripta . 32 (4): 257–260. Código Bibliográfico : 1985PhyS ... 32..257M . doi : 10.1088 / 0031-8949 / 32/4/001 .
• Sapozhnikov, Victor; Foufoula-Georgiou, Efi (mayo de 1996). "Autoafinidad en ríos trenzados" (PDF) . Investigación de recursos hídricos . 32 (5): 1429–1439. doi : 10.1029 / 96wr00490 . Archivado (PDF) desde el original el 30 de julio de 2018 . Consultado el 30 de julio de 2018 .
• Benoît B. Mandelbrot (2002). Gaussian autoafinidad y Fractales: globalidad, la Tierra, 1 / F de ruido, y R / S . ISBN 978-0387989938.