En matemáticas , la convergencia plana es una noción de convergencia de subvariedades del espacio euclidiano. Fue introducido por primera vez por Hassler Whitney en 1957, y luego extendido a las corrientes integrales por Federer y Fleming en 1960. Forma una parte fundamental del campo de la teoría de la medida geométrica . La noción se aplicó para encontrar soluciones al problema de Plateau . En 2001, Ambrosio y Kirchheim extendieron la noción de corriente integral a espacios métricos arbitrarios .
Corrientes integrales
Una corriente k- dimensional T es un operador multilineal de valor real en formas k suaves. Por ejemplo, dado un mapa Lipschitz de un colector en el espacio euclidiano , F : N k → R n , uno tiene una corriente integral T ( ω ) definido por la integración de la retirada de la diferencia k -forma, ω , sobre N . Las corrientes tienen una noción de frontera(que es el límite habitual cuando N es una variedad con límite) y una noción de masa, M ( T ), (que es el volumen de la imagen de N ). Una corriente rectificable entera se define como una suma contable de corrientes formadas a este respecto. Una corriente integral es una corriente rectificable entera cuyo límite tiene masa finita. Es un teorema profundo de Federer-Fleming que el límite es entonces también una corriente integral.
Norma plana y distancia plana
La norma plana | T | de una corriente integral k -dimensional T es el mínimo de M ( A ) + M ( B ), donde el mínimo se toma sobre todas las corrientes integrales A y B de manera que.
La distancia plana entre dos corrientes integrales es entonces d F ( T , S ) = | T - S |.
Teorema de compacidad
Federer-Fleming demostró que si uno tiene una secuencia de corrientes integrales cuyos soportes se encuentran en un conjunto compacto K con un límite superior uniforme en, entonces una subsecuencia converge en sentido plano a una corriente integral.
Este teorema se aplicó para estudiar secuencias de subvariedades de límite fijo cuyo volumen se acercaba al mínimo sobre todos los volúmenes de subvariedades con el límite dado. Produjo una solución candidata débil al problema de Plateau .
Referencias
- Federer, Herbert (1969), Teoría de la medida geométrica , serie Die Grundlehren der mathischen Wissenschaften, Band 153, Nueva York: Springer-Verlag New York Inc., págs. Xiv + 676, ISBN 978-3-540-60656-7, MR 0257325
- Federer, H. (1978), "Coloquio de conferencias sobre la teoría de la medida geométrica" , Bull. Amer. Matemáticas. Soc. , 84 (3): 291–338, doi : 10.1090 / S0002-9904-1978-14462-0
- Morgan, Frank (2009), Teoría de la medida geométrica: una guía para principiantes (Cuarta ed.), San Diego, CA: Academic Press Inc., págs. Viii + 249, ISBN 978-0-12-374444-9, MR 2455580
- Ambrosio, Luigi; Kirchheim, Bernd (2000), "Corrientes en espacios métricos", Acta Mathematica , 185 : 1–80, doi : 10.1007 / bf02392711