En matemáticas , más particularmente en el análisis funcional , la topología diferencial , y la teoría geométrica de la medida , una k -CURRENT en el sentido de Georges de Rham es una funcional en el espacio de soporte compacto diferencial k -formas , en un múltiple liso M . Las corrientes se comportan formalmente como distribuciones de Schwartz en un espacio de formas diferenciales, pero en un entorno geométrico, pueden representar la integración sobre una subvariedad, generalizando la función delta de Dirac , o más generalmente inclusoderivadas direccionales de funciones delta ( multipolos ) se extienden a lo largo de subconjuntos de M .
Definición
Dejar denotar el espacio de lisa m - formas con soporte compacto en un múltiple liso . Una corriente es un funcional lineal enque es continuo en el sentido de distribuciones . Por lo tanto, un funcional lineal
El espacio de corrientes m- dimensionales enes un espacio vectorial real con operaciones definidas por
Gran parte de la teoría de distribuciones se traslada a las corrientes con ajustes mínimos. Por ejemplo, se puede definir el apoyo de una corrientecomo complemento del mayor set abierto tal que
El subespacio lineal de que consta de corrientes con soporte (en el sentido anterior) que es un subconjunto compacto de se denota .
Corriente principal
Para definir una corriente principal, primero debemos definir una función principal.
Función principal
Teorema : suponga y son operadores acotados en el espacio de Hilbert con en . Suponer que y están -comparable. Luego y están -comparable y
Dejar y construir operadores autoadjuntos , con resoluciones espectrales y respectivamente.
Si no está en el espectro esencial de , entonces ambas proyecciones espectrales son operadores constantes de rango finito para. Así que si es un polinomio en
Dado que se hipotetiza es una clase de rastreo , entonces debe existir una, función de valor real, compatible de forma compacta llamada la función principal de así que eso
Dado que se ha mostrado en casi todas partes ,
Si tiene un punto de Lebesgue en, luego
Por lo tanto, si tiene un rango dimensional finito, entonces por casi todos . [1]
Corriente principal
La función principal definida anteriormente es para una medida de Lebesgue bidimensional .
En los casos en que el espectro esencial es similar a una curva, la función principal se puede definir en la curva como un promedio de los valores en ambos lados, incluso cuando es débilmente diferenciable, es decir, cuando y son medidas.
Para casi todos en y una función débilmente diferenciable [2]
cuando sea satisface las condiciones para una función principal.
De ello se deduce que si los subespacios y están -comparable, entonces es igual al promedio de los límites superior e inferior aproximados de la función principal a .
Esta expresión se puede interpretar como una redefinición de la función principal en el conjunto de puntos. donde la regularización rotacionalmente simétrica de la función principal converge en una medida de Hausdorff casi en todas partes, lo que implica Casi en cualquier parte.
La función principal de un solo operador se puede utilizar para definir una corriente principal del álgebra C * unital correspondiente a.
Por definición, la corriente principal para el álgebra C * que corresponde a un tal que está en la clase de rastreo es [3]
La dos-corriente definida por esta relación tiene ciertas propiedades básicas: con un cálculo funcional adecuado
- Cuándo en
- dónde es una función suave de y y es la corriente formada por el operador
- por en clase de rastreo.
Teoría homológica
La integración sobre un sub colector orientado rectificable compacto M ( con límite ) de dimensión m define una corriente m , denotada por:
Si el límite ∂ M de M es rectificable, entonces también define una corriente por integración, y en virtud del teorema de Stokes uno tiene:
Esto se relaciona el exterior derivado d con el operador límite ∂ en la homología de M .
En vista de esta fórmula, podemos definir un operador de límite en corrientes arbitrarias
Ciertas subclases de corrientes que están cerradas bajo se puede utilizar en lugar de todas las corrientes para crear una teoría de homología, que puede satisfacer los axiomas de Eilenberg-Steenrod en ciertos casos. Un ejemplo clásico es la subclase de corrientes integrales en retracciones vecinas de Lipschitz.
Topología y normas
El espacio de las corrientes está naturalmente dotado de la topología débil * , que además se llamará simplemente convergencia débil . Una secuencia T k de corrientes converge a una corriente T si
Es posible definir varias normas sobre subespacios del espacio de todas las corrientes. Una de esas normas es la norma de masas . Si ω es una forma m , entonces defina su coma por
Entonces, si ω es una forma m simple , entonces su norma de masa es la norma L ∞ habitual de su coeficiente. La masa de una corriente T se define entonces como
La masa de una corriente representa el área ponderada de la superficie generalizada. Una corriente tal que M ( T ) <∞ se puede representar mediante la integración de una medida de Borel regular mediante una versión del teorema de representación de Riesz . Este es el punto de partida de la integración homológica .
Una norma intermedia es la norma plana de Whitney , definida por
Dos corrientes están próximas en la norma de masa si coinciden lejos de una pequeña parte. Por otro lado, se acercan a la norma plana si coinciden hasta una pequeña deformación.
Ejemplos de
Recordar que
En particular, cada medida regular firmada es una corriente 0:
Sean ( x , y , z ) las coordenadas en R 3 . Entonces lo siguiente define una corriente 2 (una de muchas):
Ver también
- Georges de Rham
- Herbert Federer
- Geometría diferencial
- Varifold
Notas
- ^ Carey y Pincus 1985 , p. 618
- ↑ Federer, 1969
- ^ Carey y Pincus 1985 , p. 619
Referencias
- de Rham, G. (1973), Variétés Différentiables , Actualites Scientifiques et Industrielles (en francés), 1222 (3.a ed.), París: Hermann, págs. X + 198, Zbl 0284.58001.
- Federer, Herbert (1969), Teoría de la medida geométrica , Die Grundlehren der mathischen Wissenschaften, 153 , Berlín – Heidelberg – Nueva York: Springer-Verlag , págs. Xiv + 676, ISBN 978-3-540-60656-7, MR 0257325 , Zbl 0.176,00801.
- Whitney, H. (1957), Teoría de la integración geométrica , Princeton Mathematical Series, 21 , Princeton, Nueva Jersey y Londres: Princeton University Press y Oxford University Press , págs. XV + 387, MR 0087148 , Zbl 0083.28204.
- Lin, Fanghua; Yang, Xiaoping (2003), Teoría de medidas geométricas: Introducción , Matemáticas avanzadas (Beijing / Boston), 1 , Beijing / Boston: Science Press / International Press, págs. X + 237, ISBN 978-1-57146-125-4, MR 2030862 , Zbl 1074.49011
- Carey, Richard W .; Pincus, Joel D. (7 de enero de 1985), "Principales corrientes" , ecuaciones integrales y teoría del operador , 8 (5): 614–640, doi : 10.1007 / BF01201706 , S2CID 189878392
- Carey, Richard W .; Pincus, Joel D. (1986), "Teoría de índices para rangos de operadores y teoría de medidas geométricas" , Actas de simposios en matemáticas puras , Teoría de medidas geométricas y cálculo de variaciones, American Mathematical Society , 44 : 149-161, doi : 10.1090 / pspum / 044/840271
Este artículo incorpora material de Current on PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .