Teoría del floquet

La teoría de Floquet es una rama de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias relacionada con la clase de soluciones de ecuaciones diferenciales lineales periódicas de la forma

con una función periódica continua por partes con período y define el estado de estabilidad de las soluciones. ${\ Displaystyle \ Displaystyle A (t)}$ ${\ Displaystyle T}$

El teorema principal de la teoría de Floquet, el teorema de Floquet , debido a Gaston Floquet ( 1883 ), da una forma canónica para cada solución de matriz fundamental de este sistema lineal común . Se da un cambio de coordenadas con el que se transforma el sistema periódico a un sistema lineal tradicional con constantes reales, coeficientes . ${\ Displaystyle \ Displaystyle y = Q ^ {- 1} (t) x}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle Q (t + 2T) = Q (t)}$

Cuando se aplica a sistemas físicos con potenciales periódicos, como los cristales en la física de la materia condensada , el resultado se conoce como teorema de Bloch .

Tenga en cuenta que las soluciones de la ecuación diferencial lineal forman un espacio vectorial. Una matriz se denomina solución matricial fundamental si todas las columnas son soluciones linealmente independientes. Una matriz se llama solución de matriz fundamental principal si todas las columnas son soluciones linealmente independientes y existe tal que es la identidad. Se puede construir una matriz fundamental principal a partir de una matriz fundamental utilizando . La solución de la ecuación diferencial lineal con la condición inicial es dónde está cualquier solución de matriz fundamental. ${\ Displaystyle \ phi \, (t)}$ ${\ Displaystyle \ Phi (t)}$ ${\ Displaystyle t_ {0}}$ ${\ Displaystyle \ Phi (t_ {0})}$ ${\ Displaystyle \ Phi (t) = \ phi \, (t) {\ phi \,} ^ {- 1} (t_ {0})}$ ${\ Displaystyle x (0) = x_ {0}}$ ${\ Displaystyle x (t) = \ phi \, (t) {\ phi \,} ^ {- 1} (0) x_ {0}}$ ${\ Displaystyle \ phi \, (t)}$