En matemáticas , una solución fundamental para un operador diferencial parcial lineal L es una formulación en el lenguaje de la teoría de la distribución de la idea anterior de la función de Green (aunque a diferencia de las funciones de Green, las soluciones fundamentales no abordan las condiciones de contorno).
En términos de la "función" delta de Dirac δ ( x ) , una solución fundamental F es una solución de la ecuación no homogénea
- LF = δ ( x ).
Aquí F es a priori solamente supone que es una distribución .
Este concepto se ha utilizado durante mucho tiempo para el laplaciano en dos y tres dimensiones. Fue investigado para todas las dimensiones para el laplaciano por Marcel Riesz .
Bernard Malgrange y Leon Ehrenpreis demostraron la existencia de una solución fundamental para cualquier operador con coeficientes constantes , el caso más importante, directamente vinculado a la posibilidad de utilizar la convolución para resolver un lado derecho arbitrario . En el contexto del análisis funcional , las soluciones fundamentales generalmente se desarrollan a través de la alternativa de Fredholm y se exploran en la teoría de Fredholm .
Ejemplo
Considere la siguiente ecuación diferencial Lf = sin ( x ) con
- .
Las soluciones fundamentales se pueden obtener resolviendo LF = δ ( x ) , explícitamente,
Dado que para la función de Heaviside H tenemos
hay una solucion
Aquí C es una constante arbitraria introducida por la integración. Por conveniencia, configure C = - 1/2.
Después de integrar y eligiendo la nueva constante de integración como cero, uno tiene
Motivación
Una vez que se encuentra la solución fundamental, es sencillo encontrar una solución de la ecuación original, mediante la convolución de la solución fundamental y el lado derecho deseado.
Las soluciones fundamentales también juegan un papel importante en la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales por el método del elemento de frontera .
Aplicación al ejemplo
Considere el operador L y la ecuación diferencial mencionada en el ejemplo,
Podemos encontrar la solución de la ecuación original por convolución (denotado por un asterisco) del lado derecho con la solución fundamental :
Esto muestra que se debe tener cuidado al trabajar con funciones que no tienen suficiente regularidad (por ejemplo, soporte compacto, integrabilidad L 1 ) ya que sabemos que la solución deseada es f (x) = −sin x , mientras que la integral anterior diverge para todo x . Sin embargo, las dos expresiones para f son iguales como distribuciones.
Un ejemplo que funciona más claramente
donde I es la función característica (indicadora) del intervalo unitario [0,1] . En ese caso, se puede verificar fácilmente que la convolución I ∗ F con F (x) = | x | / 2 es una solución, es decir, tiene segunda derivada igual a I .
Prueba de que la convolución es una solución.
Denote la convolución de las funciones F y g como F ∗ g . Digamos que estamos tratando de encontrar la solución de Lf = g (x) . Queremos demostrar que F ∗ g es una solución de la ecuación anterior, es decir, queremos demostrar que L (F ∗ g) = g . Al aplicar el operador diferencial, L , a la convolución, se sabe que
siempre que L tenga coeficientes constantes.
Si F es la solución fundamental, el lado derecho de la ecuación se reduce a
Pero dado que la función delta es un elemento de identidad para la convolución, esto es simplemente g ( x ) . Resumiendo,
Por lo tanto, si F es la solución fundamental, la convolución F ∗ g es una solución de Lf = g ( x ) . Esto no significa que sea la única solución. Se pueden encontrar varias soluciones para diferentes condiciones iniciales.
Soluciones fundamentales para algunas ecuaciones diferenciales parciales
Mediante la transformada de Fourier se puede obtener lo siguiente:
Ecuación de Laplace
Para la ecuación de Laplace ,
las soluciones fundamentales en dos y tres dimensiones, respectivamente, son
Ecuación de Poisson filtrada
Para la ecuación de Poisson filtrada ,
las soluciones fundamentales son
dónde es una función de Bessel modificada del segundo tipo.
En dimensiones superiores, la solución fundamental de la ecuación de Poisson apantallada viene dada por el potencial de Bessel .
Ecuación biarmónica
Para la ecuación biarmónica ,
la ecuación biarmónica tiene las soluciones fundamentales
Procesamiento de la señal
En el procesamiento de señales , el análogo de la solución fundamental de una ecuación diferencial se denomina respuesta al impulso de un filtro.
Ver también
Referencias
- "Solución fundamental" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Para el ajuste de la función de Green en el límite, consulte las notas de Shijue Wu .