En geometría , las cónicas focales son un par de curvas que constan de [1] [2] o
- una elipse y una hipérbola , donde la hipérbola está contenida en un plano, que es ortogonal al plano que contiene la elipse. Los vértices de la hipérbola son los focos de la elipse y sus focos son los vértices de la elipse (ver diagrama).
o
- dos parábolas , que están contenidas en dos planos ortogonales y el vértice de una parábola es el foco de la otra y viceversa.
Las cónicas focales juegan un papel fundamental en la respuesta a la pregunta: "¿Qué conos circulares rectos contienen una elipse o hipérbola o parábola determinada (ver más abajo)?".
Las cónicas focales se utilizan como directrices para generar ciclidos de Dupin como superficies de canales de dos formas. [3] [4]
Las cónicas focales pueden verse como superficies focales degeneradas : los ciclidos de Dupin son las únicas superficies, donde las superficies focales colapsan en un par de curvas, es decir, cónicas focales. [5]
En Química Física, las cónicas focales se utilizan para describir las propiedades geométricas de los cristales líquidos . [6]
No se deben mezclar cónicas focales con cónicas confocales . Los últimos tienen todos los mismos focos.
Ecuaciones y representaciones paramétricas
Elipse e hipérbola
- Ecuaciones
Si se describe la elipse en el plano xy de la manera común mediante la ecuación
entonces la hipérbola focal correspondiente en el plano xz tiene la ecuación
dónde es la excentricidad lineal de la elipse con
- Representaciones paramétricas
- elipse: y
- hipérbola:
Dos parábolas
Dos parábolas en el plano xy y en el plano xz:
- 1. parábola: y
- 2. parábola:
con el recto semilato de ambas parábolas.
Conos circulares rectos a través de una elipse
- Los ápices de los conos circulares rectos a través de una elipse dada se encuentran en la hipérbola focal perteneciente a la elipse.
- Prueba
Dado : Elipse con vértices y focos y un cono circular recto con ápice que contiene la elipse (ver diagrama).
Debido a la simetría, el eje del cono debe estar contenido en el plano que pasa por los focos, que es ortogonal al plano de la elipse. Existe una esfera Dandelin , que toca el plano de la elipse en el foco y el cono en un círculo. Del diagrama y del hecho de que todas las distancias tangenciales de un punto a una esfera son iguales, se obtiene:
Por eso:
- const.
y el conjunto de todos los ápices posibles se encuentran en la hipérbola con los vértices y los focos .
Análogamente se prueban los casos, donde los conos contienen una hipérbola o una parábola. [7]
Referencias
- ↑ Müller-Kruppa, S. 104
- ↑ Glaeser-Stachel-Odehnal, p. 137
- ^ Felix Klein: Vorlesungen Über Höhere Geometrie , Herausgeber: W. Blaschke, Richard Courant, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3642498485 , S. 58.
- ^ Glaeser-Stachel-Odehnal: pág. 147
- ^ D. Hilbert, S. Cohn-Vossen: Geometría e imaginación , Chelsea Publishing Company, 1952, p. 218.
- ^ Thomas Andrew Waigh: La física de los procesos vivos , Verlag John Wiley & Sons, 2014, ISBN 1118698274 , pág. 128.
- ^ Glaeser-Stachel-Odehnal p. 139