En geometría , dos secciones cónicas se denominan confocales , si tienen los mismos focos . Debido a que las elipses y las hipérbolas poseen dos focos, existen elipses confocales , hipérbolas confocales y mezclas confocales de elipses e hipérbolas. En la mezcla de elipses e hipérbolas confocales, cualquier elipse interseca cualquier hipérbola ortogonalmente (en ángulos rectos). Las parábolas poseen un solo enfoque, por lo que, por convención, las parábolas confocales tienen el mismo enfoque yel mismo eje de simetría. En consecuencia, cualquier punto que no esté en el eje de simetría se encuentra en dos parábolas confocales que se cruzan ortogonalmente (ver más abajo ).
La extensión formal del concepto de cónicas confocales a superficies conduce a cuadrículas confocales .
Elipses confocales
Una elipse que no es un círculo está determinada únicamente por sus focos y un punto que no está en el eje mayor (ver la definición de una elipse como un lugar geométrico de puntos). El lápiz de elipses confocales con los focos puede ser descrito por la ecuación
con semieje mayor como parámetro. (La excentricidad lineal está determinado de forma única por los focos.) Debido a que un punto de una elipse determina de forma única el parámetro ,
- dos elipses cualesquiera del lápiz no tienen puntos en común.
Hipérbolas confocales
Una hipérbola está determinada únicamente por sus focos y un punto que no está en los ejes de simetría . El lápiz de hipérbolas confocales con los focos puede ser descrito por la ecuación
con el semieje como parámetro. (La excentricidad lineal está determinado únicamente por los focos). Debido a que un punto de la hipérbola determina el parámetro únicamente,
- dos hipérbolas cualesquiera del lápiz no tienen puntos en común.
Elipses e hipérbolas confocales
Representación común
De las representaciones anteriores de elipses e hipérbolas confocales se obtiene una representación común: la ecuación
describe una elipse, si, y una hipérbola, si.
En la literatura se encuentra otra representación común:
con los semiejes de una elipse dada (de ahí los focos se dan) y es el parámetro del lápiz.
Parauno obtiene elipses confocales (es) y
parahipérbolas confocales con los focos en común.
Limitar curvas
En la posición el lápiz de curvas confocales tiene como curva límite del lado izquierdo (elipse plana infinita) la sección de línea en el eje xy la curva límite del lado derecho (hipérbola plana infinita) los dos intervalos . Por eso:
- Las curvas límite en la posición tener los dos focos en común.
Esta propiedad aparece en el caso tridimensional (ver más abajo) en un caso análogo y conduce a la definición de las curvas focales (infinidad de focos) de cuadrículas confocales.
Doble sistema ortogonal
Considerando los lápices de elipses e hipérbolas confocales (ver diagrama principal) se obtiene de las propiedades geométricas de la normal y la tangente en un punto (la normal de una elipse y la tangente de una hipérbola bisecan el ángulo entre las líneas a los focos):
- Cualquier elipse del lápiz se cruza con cualquier hipérbola ortogonalmente (ver diagrama).
Por tanto, el plano puede estar cubierto por una red ortogonal de elipses e hipérbolas confocales.
Esta red ortogonal se puede utilizar como base de un sistema de coordenadas elípticas .
Parábolas confocales
Las parábolas poseen un solo enfoque. Una parábola se puede considerar como una curva límite de un lápiz de elipses confocales (hipérbolas), donde un foco se mantiene fijo, mientras que el segundo se mueve al infinito. Si se realiza esta transformación para una red de elipses e hipérbolas confocales, se obtiene una red de dos lápices de parábolas confocales.
La ecuacion describe una parábola con el origen como foco y el eje x como eje de simetría. Se consideran los dos lápices de parábolas:
- son parábolas que se abren a la derecha y
- son parábolas que se abren hacia la izquierda
- con el foco en común.
De la definición de parábola se obtiene
- las parábolas que se abren a la derecha (izquierda) no tienen puntos en común.
De ello se deduce por cálculo que,
- cualquier parábola la apertura a la derecha se cruza con cualquier parábola apertura a la izquierda ortogonalmente (ver diagrama). Los puntos de intersección son.
(son vectores normales en los puntos de intersección. Su producto escalar es.)
De manera análoga a las elipses e hipérbolas confocales, el plano puede estar cubierto por una red ortogonal de parábolas.
La red de parábolas confocales se puede considerar como la imagen de una red de líneas paralelas a los ejes de coordenadas y contenida en la mitad derecha del plano complejo por el mapa conforme. (ver enlaces externos).
Teorema de Graves: la construcción de elipses confocales por una cuerda
En 1850, el obispo irlandés de Limerick Charles Graves probó y publicó el siguiente método para la construcción de elipses confocales con la ayuda de una cuerda: [1]
- Si uno rodea una elipse E dada por una cuerda cerrada, que es más larga que la circunferencia de la elipse dada, y dibuja una curva similar a la construcción de una elipse del jardinero (ver diagrama), entonces se obtiene una elipse, que es confocal a E.
La demostración de este teorema utiliza integrales elípticas y está contenida en el libro de Klein. Otto Staude extendió este método a la construcción de elipsoides confocales (ver el libro de Klein).
Si la elipse E se colapsa en un segmento de línea , se obtiene una ligera variación del método del jardinero dibujando una elipse con focos.
Cuadricos confocales
Definición
La idea de cuadrículas confocales es una extensión formal del concepto de secciones cónicas confocales a cuadrículas en el espacio tridimensional [2]
Arreglar tres números reales con . La ecuacion
- describe
- un elipsoide si ,
- un hiperboloide de una hoja si (en el diagrama: azul),
- un hiperboloide de dos hojas si .
- Para no hay soluciones.
(En este contexto el parámetro no es la excentricidad lineal de una elipse!)
Curvas focales
Limitar superficies para :
Variando los elipsoides aumentando el parámetro tal que se acerque al valor desde abajo se obtiene un elipsoide plano infinito. Más preciso: el área del plano xy, que consiste en la elipse con ecuación y su interior doblemente cubierto (en el diagrama: abajo, a la izquierda, rojo).
Variando los hiperboloides de 1 hoja mediante el parámetro decreciente tal que se acerque al valor desde arriba se obtiene un hiperboloide plano infinito. Más preciso: el área del plano xy, que consta de la misma elipsey su exterior doblemente cubierto (en el diagrama: abajo, a la izquierda, azul).
Eso significa: las dos superficies límite tienen los puntos de elipse
en común.
Limitar superficies para :
Consideraciones análogas en el puesto rinde:
Las dos superficies límite (en el diagrama: inferior, derecha, azul y violeta) en la posición tener la hipérbola
en común.
Curvas focales:
Se comprueba fácilmente que los focos de la elipse son los vértices de la hipérbola y viceversa. Eso significa: Elipse e hipérbola son un par de cónicas focales .
Inversa: porque cualquier cuadrático del lápiz de cuadrículas confocales determinadas por se puede construir mediante un método de clavijas y cuerdas (ver elipsoide ) las cónicas focalesdesempeñan el papel de un número infinito de focos y se denominan curvas focales del lápiz de cuadrículas confocales. [3] [4] [5]
Sistema ortogonal triple
De manera análoga al caso de elipses / hipérbolas confocales, se tiene:
- Cualquier punto con se encuentra exactamente en una superficie de cualquiera de los tres tipos de cuadrículas confocales.
- Las tres cuadrículas a través de un punto se cruzan allí ortogonalmente (ver enlace externo).
Prueba de la existencia y unicidad de tres cuadrículas a través de un punto:
Para un punto con permitir . Esta función tiene tres asíntotas verticales y está en cualquiera de los intervalos abiertos una función creciente continua y monótona . Del comportamiento de la función cerca de sus asíntotas verticales y deuno encuentra (ver diagrama):
Función tiene exactamente 3 ceros con
Prueba de la ortogonalidad de las superficies:
Utilizando los lápices de funciones con parámetro las cuadrículas confocales se pueden describir por . Para dos cuadrículas cualesquiera que se crucen con uno llega a un punto común
De esta ecuación se obtiene el producto escalar de los gradientes en un punto común
que prueba la ortogonalidad.
Aplicaciones:
Debido al teorema de Dupin sobre sistemas de superficies ortogonales triples, la siguiente afirmación es cierta:
- La curva de intersección de dos cuadrículas confocales cualesquiera es una línea de curvatura .
- De manera análoga a las coordenadas elípticas planas, existen coordenadas elipsoidales .
En física, los elipsoides confocales aparecen como superficies equipotenciales:
- Las superficies equipotenciales de un elipsoide cargado son sus elipsoides confocales. [6]
Teorema de marfil
El teorema de Ivory , que lleva el nombre del matemático y astrónomo escocés James Ivory (1765-1842), es un enunciado sobre las diagonales de un rectángulo de red , un cuadrilátero formado por curvas ortogonales:
- Para cualquier rectángulo de red, que está formado por dos elipses confocales y dos hipérbolas confocales con los mismos focos, las diagonales tienen la misma longitud (ver diagrama).
Puntos de intersección de una elipse y una hipérbola confocal:
Sea ser la elipse con los focos y la ecuación
y la hipérbola confocal con ecuación
Calcular los puntos de intersección de y uno obtiene los cuatro puntos:
Diagonales de un rectángulo de red:
para que el cálculo sea sencillo, se supone que
- , que no es una restricción esencial, porque cualquier otra red confocal puede obtenerse mediante una escala uniforme.
- De las posibles alternativas (ver Puntos de intersección, arriba)) solamente se utiliza. Al final, se considera fácilmente que cualquier otra combinación de signos da el mismo resultado.
Permitir dos elipses confocales y dos hipérbolas confocales con los mismos focos. Las diagonales de los cuatro puntos del rectángulo de red que consta de los puntos
están:
Obviamente la última expresión es invariante, si se realiza el intercambio . Exactamente este intercambio conduce a. De ahí uno obtiene:
La prueba del enunciado para parábolas confocales es un cálculo simple.
Ivory incluso demostró la versión tridimensional de su teorema (s. Blaschke, p. 111):
- Para un cuboide rectangular tridimensional formado por cuadrículas confocales, las diagonales que conectan puntos opuestos tienen la misma longitud.
Ver también
- Focaloide
Referencias
- ↑ Felix Klein: Vorlesungen über Höhere Geometrie , Sringer-Verlag, Berlín, 1926, S.32.
- ^ DMY Sommerville: Geometría analítica de tres dimensiones , Cambridge University Press, 2016, ISBN 1316601900 , 9781316601907, p. 235
- ^ Staude, O .: Ueber Fadenconstructionen des Ellipsoides . Matemáticas. Ana. 20, 147-184 (1882)
- ^ Staude, O .: Ueber neue Focaleigenschaften der Flächen 2. Grados. Matemáticas. Ana. 27, 253-271 (1886).
- ^ Staude, O .: Die algebraischen Grundlagen der Focaleigenschaften der Flächen 2. Ordnung Math. Ana. 50, 398 - 428 (1898)
- ^ D. Fuchs , S. Tabachnikov : Ein Schaubild der Mathematik. Springer-Verlag, Berlín / Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-12959-9 , pág. 480.
- W. Blaschke : Analytische Geometrie. Springer, Basilea 1954, ISBN 978-3-0348-6813-6 , pág. 111.
- G. Glaeser, H. Stachel, B. Odehnal: El universo de las cónicas: de los antiguos griegos a los desarrollos del siglo XXI , Springer Spektrum, ISBN 978-3-662-45449-7 , pág. 457.
- David Hilbert; Stephan Cohn-Vossen (1999), Geometría e imaginación , Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 0-8218-1998-4
- Ernesto Pascal : Repertorium der höheren Mathematik. Teubner, Leipzig / Berlín 1910, pág. 257.
- A. Robson: Introducción a la geometría analítica Vo. Yo, Cambridge, University Press, 1940, pág. 157.
- DMY Sommerville: Geometría analítica de tres dimensiones , Cambridge, University Press, 1959, p. 235.
enlaces externos
- T. Hofmann: Geometría diferencial de Miniskript I, pág. 48
- B. Springborn: Kurven und Flächen , 12. Vorlesung: Konfokale Quadriken (S. 22 y s.).
- H. Walser: Konforme Abbildungen. pag. 8.