En matemáticas , en particular en teoría de campos y álgebra real , un campo formalmente real es un campo que puede equiparse con un orden (no necesariamente único) que lo convierte en un campo ordenado .
Definiciones alternativas
La definición dada anteriormente no es una definición de primer orden , ya que requiere cuantificadores sobre conjuntos . Sin embargo, los siguientes criterios se pueden codificar como (infinitas) oraciones de primer orden en el lenguaje de los campos y son equivalentes a la definición anterior.
Un campo formalmente real F es un campo que también satisface una de las siguientes propiedades equivalentes: [1] [2]
- -1 no es una suma de los cuadrados en F . En otras palabras, el Stufe de F es infinito. (En particular, dicho campo debe tener la característica 0, ya que en un campo de característica p el elemento -1 es una suma de 1). Esto se puede expresar en lógica de primer orden mediante, , etc., con una oración por cada número de variables.
- Existe un elemento de F que no es una suma de cuadrados en F , y la característica de F no es 2.
- Si cualquier suma de cuadrados de elementos de F es igual a cero, entonces cada uno de esos elementos debe ser cero.
Es fácil ver que estas tres propiedades son equivalentes. También es fácil ver que un campo que admite un ordenamiento debe satisfacer estas tres propiedades.
Una prueba de que si F satisface estas tres propiedades, entonces F admite que un ordenamiento usa la noción de conos prepositivos y conos positivos. Supongamos -1 no es una suma de cuadrados, y luego una de Zorn Lema argumento muestra que el cono prepositiva de sumas de cuadrados se puede extender a un cono positivo P ⊂ F . Uno utiliza este cono positivo para definir una ordenación: un ≤ b si y sólo si b - una pertenece a P .
Campos cerrados reales
Un campo formalmente real sin extensión algebraica propia formalmente real es un campo cerrado real . [3] Si K es formalmente real y Ω es un cuerpo algebraicamente cerrado que contiene K , entonces hay una real cerrado subcampo de Ω que contiene K . Un campo cerrado real se puede ordenar de forma única, [3] y los elementos no negativos son exactamente los cuadrados.
Notas
Referencias
- Milnor, John ; Husemoller, Dale (1973). Formas bilineales simétricas . Saltador. ISBN 3-540-06009-X.
- Rajwade, AR (1993). Cuadrados . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. 171 . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022 .