En la teoría de campos , una rama de las matemáticas , el Stufe (/ ʃtuːfə /; alemán: nivel) s ( F ) de un campo F es el menor número de cuadrados que suman -1. Si −1 no se puede escribir como una suma de cuadrados, s ( F ) =. En este caso, F es un campo formalmente real . Albrecht Pfister demostró que Stufe, si es finito, es siempre una potencia de 2 y que, a la inversa, ocurre toda potencia de 2. [1]
Potencias de 2
Si luego por algún número natural . [1] [2]
Prueba: dejar ser elegido de tal manera que . Dejar. Entonces hay elementos tal que
Ambas cosas y son sumas de cuadrados, y , ya que de lo contrario , contrariamente a la suposición sobre .
Según la teoría de las formas de Pfister , el producto es en sí mismo una suma de cuadrados, es decir, para algunos . Pero desde, también tenemos , y por lo tanto
y por lo tanto .
Característica positiva
Cualquier campo con característica positiva tiene. [3]
Prueba: dejar. Basta probar la afirmación de.
Si luego , entonces .
Si considerar el conjunto de cuadrados. es un subgrupo de índice en el grupo cíclico con elementos. Por lo tanto contiene exactamente elementos, y también . Desde solo tiene elementos en total, y no puede ser disjunto , es decir, hay con y por lo tanto .
Propiedades
La Stufe s ( F ) está relacionada con el número de Pitágoras p ( F ) por p ( F ) ≤ s ( F ) + 1. [4] Si F no es formalmente real entonces s ( F ) ≤ p ( F ) ≤ s ( F ) + 1. [5] [6] El orden aditivo de la forma (1) y, por tanto, el exponente del grupo de Witt de F es igual a 2 s ( F ). [7] [8]
Ejemplos de
- El Stufe de un campo cuadráticamente cerrado es 1. [8]
- La materia de un campo numérico algebraico es ∞, 1, 2 o 4 (teorema de Siegel). [9] Algunos ejemplos son Q , Q (√ − 1), Q (√ − 2) y Q (√ − 7). [7]
- El material de un campo finito GF ( q ) es 1 si q ≡ 1 mod 4 y 2 si q ≡ 3 mod 4. [3] [8] [10]
- El Stufe de un campo local de característica de residuo impar es igual al de su campo de residuo. El Stufe del campo 2-ádico Q 2 es 4. [9]
Notas
- ↑ a b Rajwade (1993) p.13
- ^ Lam (2005) p.379
- ↑ a b Rajwade (1993) p.33
- ^ Rajwade (1993) p.44
- ^ Rajwade (1993) p.228
- ^ Lam (2005) p. 395
- ↑ a b Milnor y Husemoller (1973) p.75
- ↑ a b c Lam (2005) p.380
- ↑ a b Lam (2005) p.381
- ^ Singh, Sahib (1974). "Material de un campo finito". Fibonacci Quarterly . 12 : 81–82. ISSN 0015-0517 . Zbl 0278.12008 .
Referencias
- Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre campos . Estudios de Posgrado en Matemáticas . 67 . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023 .
- Milnor, J .; Husemoller, D. (1973). Formas bilineales simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 73 . Springer-Verlag . ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016 .
- Rajwade, AR (1993). Cuadrados . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. 171 . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022 .
Otras lecturas
- Knebusch, Manfred; Scharlau, Winfried (1980). Teoría algebraica de formas cuadráticas. Métodos genéricos y formas Pfister . Seminario DMV. 1 . Notas tomadas por Heisook Lee. Boston - Basilea - Stuttgart: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-1206-8. Zbl 0439.10011 .