Mapa formalmente suave

En geometría algebraica y álgebra conmutativa , un homomorfismo de anillo se llama formalmente liso (del francés : Formellement lisse ) si satisface la siguiente propiedad de elevación infinitesimal : ${\displaystyle f:A\to B}$

Suponga que a B se le da la estructura de un álgebra A a través del mapa f . Dado un conmutativa A -algebra, C , y una ideales nilpotent , cualquier Un homomorfismo -algebra puede ser levantada a una A -algebra mapa . Si, además, tal elevación es única, entonces se dice que f es formalmente étale . ^{[1] [2]}${\displaystyle N\subseteq C}$${\displaystyle B\to C/N}$${\displaystyle B\to C}$

Los mapas formalmente suaves fueron definidos por Alexander Grothendieck en Éléments de géométrie algébrique IV.

Para morfismos finamente presentados, la suavidad formal es equivalente a la noción habitual de suavidad.

Ejemplos de

Morfismos suaves

Todos los morfismos lisos son equivalentes a morfismos localmente de presentación finita que son formalmente lisos. Por tanto, la suavidad formal es una ligera generalización de morfismos suaves. ^[3]${\displaystyle f:X\to S}$

No es un ejemplo

Un método para detectar la suavidad formal de un esquema es utilizar un criterio de elevación infinitesimal. Por ejemplo, usando el morfismo de truncamiento, el criterio de elevación infinitesimal se puede describir usando el cuadrado conmutativo${\displaystyle k[t]/(t^{3})\to k[t]/(t^{2})}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\leftarrow &{\text{Spec}}\left({\frac {k[x]}{(x^{2})}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\S&\leftarrow &{\text{Spec}}\left({\frac {k[x]}{(x^{3})}}\right)\end{matrix}}}$

donde . Por ejemplo, si${\displaystyle X,S\in Sch/S}$

${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\frac {k[x,y]}{(xy)}}\right)}$ y ${\displaystyle Y={\text{Spec}}(k)}$

luego considere el vector tangente en el origen dado por el morfismo del anillo${\displaystyle (0,0)\in X(k)}$

${\displaystyle {\frac {k[x,y]}{(xy)}}\to {\frac {k[t]}{(t^{2})}}}$

enviando

${\displaystyle {\begin{aligned}x&\mapsto \varepsilon \\y&\mapsto \varepsilon \end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que este es un morfismo válido de anillos conmutativos. Entonces, desde un levantamiento de este morfismo a${\displaystyle xy\mapsto \varepsilon ^{2}=0}$

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {k[t]}{(t^{3})}}\right)\to X}$

es de la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}x&\mapsto \varepsilon +a\varepsilon ^{2}\\y&\mapsto \varepsilon +b\varepsilon ^{2}\end{aligned}}}$

y no puede haber una elevación infinitesimal ya que no es cero, por lo tanto, no es formalmente uniforme. Esto también prueba que este morfismo no es suave a partir de la equivalencia entre morfismos formalmente suaves localmente de presentación finita y morfismos suaves.${\displaystyle xy\mapsto \varepsilon ^{2}+(a+b)\varepsilon ^{3}=\varepsilon ^{2}}$${\displaystyle X\in Sch/k}$

Ver también

• Número dual
• Morfismo suave
• Teoría de la deformación

Referencias

1. Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 20 : 5–259. doi : 10.1007 / bf02684747 . Señor  0173675 .
2. Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5-361. doi : 10.1007 / bf02732123 . Señor 0238860 . 
3. "Lema 37.11.7 (02H6): criterio de elevación infinitesimal: el proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 7 de abril de 2020 .

enlaces externos

• Formalmente liso con fibras lisas, pero no liso https://mathoverflow.net/q/333596
• Formalmente suave pero no suave https://mathoverflow.net/q/195

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