En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , dado un morfismo f : X → Y y un morfismo g : Z → Y , una elevación o elevación de f a Z es un morfismo h : X → Z tal que f = g ∘ h . Decimos que f factoriza h .
Un ejemplo básico en topología es elevar una ruta en un espacio topológico a una ruta en un espacio de cobertura . Por ejemplo, considere mapear puntos opuestos en una esfera al mismo punto, un mapa continuo de la esfera que cubre el plano proyectivo . Una trayectoria en el plano proyectivo es un mapa continuo desde el intervalo unitario [0,1]. Podemos elevar ese camino a la esfera eligiendo uno de los dos puntos de la esfera que se asignan al primer punto del camino y luego mantener la continuidad. En este caso, cada uno de los dos puntos de partida fuerza una trayectoria única en la esfera, la elevación de la trayectoria en el plano proyectivo. Así, en la categoría de espacios topológicos con mapas continuos como morfismos, tenemos
Los ascensores son omnipresentes; por ejemplo, la definición de fibraciones (ver propiedad de elevación de homotopía ) y los criterios de valoración de mapas de esquemas separados y adecuados se formulan en términos de existencia y (en el último caso) unicidad de ciertos ascensores.
En topología algebraica y álgebra homológica , el producto tensorial y el functor Hom son adjuntos ; sin embargo, es posible que no siempre se eleven a una secuencia exacta . Esto conduce a la definición del functor Ext y el functor Tor .
Lógica algebraica
Las notaciones de la lógica de predicados de primer orden se simplifican cuando los cuantificadores se relegan a dominios establecidos y rangos de relaciones binarias . Gunther Schmidt y Michael Winter han ilustrado el método de elevar las expresiones lógicas tradicionales de la topología al cálculo de relaciones en su libro Relational Topology . [1] Su objetivo es "elevar los conceptos a un nivel relacional haciéndolos libres de puntos y de cuantificadores, liberándolos así del estilo de la lógica de predicados de primer orden y acercándose a la claridad del razonamiento algebraico".
Por ejemplo, una función parcial M corresponde a la inclusión dónde denota la relación de identidad en la gama de M . "La notación para la cuantificación está oculta y permanece profundamente incorporada en la tipificación de las operaciones relacionales (aquí transposición y composición) y sus reglas".
Ver también
- Cubriendo el espacio
- Módulo proyectivo
- El mapa formalmente suave satisface una propiedad de elevación infinitesimal.
- La cohomología de Monsky-Washnitzer eleva las variedades p-ádicas al cero característico.
- El anillo SBI permite que los idempotentes se eleven por encima del radical Jacobson.
- Ascensor Ikeda
- Elevador Miyawaki de formas modulares Siegel
- Elevador de formas modulares Saito – Kurokawa
- El número de rotación utiliza una elevación de un homeomorphim del círculo a la línea real.
- Geometría aritmética : Andrew Wiles (1995) elevación de modularidad
- Lema de Hensel
- Monad (programación funcional) utiliza el mapa funcional para elevar operadores simples a forma monádica.
- Paquete tangente # Ascensores
Referencias
- ^ Gunther Schmidt y Michael Winter (2018): Topología relacional , páginas 2 a 5, Lecture Notes in Mathematics vol. 2208, libros Springer , ISBN 978-3-319-74451-3