El Éléments de géométrie algébrique ("Elementos de geometría algebraica ") de Alexander Grothendieck (asistido por Jean Dieudonné ), o EGA para abreviar, es un tratado riguroso, en francés , sobre geometría algebraica que fue publicado (en ocho partes o fascículos ) de 1960 a 1967 por el Institut des Hautes Études Scientifiques . En ella, Grothendieck estableció bases sistemáticas de la geometría algebraica, basándose en el concepto de esquemas , que definió. La obra se considera ahora la piedra angular y la referencia básica de la geometría algebraica moderna.
Autor | Alexander Grothendieck y Jean Dieudonné |
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Idioma | Francés |
Sujeto | Geometría algebraica |
Editor | Institut des Hautes Études Scientifiques |
Fecha de publicación | 1960-1967 |
Ediciones
Inicialmente se planearon trece capítulos, pero solo se publicaron los primeros cuatro (haciendo un total de aproximadamente 1500 páginas). Gran parte del material que se habría encontrado en los siguientes capítulos se puede encontrar, en una forma menos pulida, en el Séminaire de géométrie algébrique (conocido como SGA ). De hecho, como explica Grothendieck en el prefacio de la versión publicada de SGA , en 1970 quedó claro que la incorporación de todo el material planificado en EGA requeriría cambios significativos en los capítulos anteriores ya publicados y que, por lo tanto, las perspectivas de completar EGA a corto plazo fueron limitados. Un ejemplo obvio lo proporcionan las categorías derivadas , que se convirtieron en una herramienta indispensable en los últimos volúmenes de SGA , pero que aún no se utilizaron en EGA III ya que la teoría aún no se había desarrollado en ese momento. Por lo tanto, se dedicó un esfuerzo considerable a llevar los volúmenes SGA publicados a un alto grado de integridad y rigor. Antes de que se abandonara el trabajo sobre el tratado, había planes en 1966-67 para expandir el grupo de autores para incluir a los estudiantes de Grothendieck, Pierre Deligne y Michel Raynaud , como lo demuestra la correspondencia publicada entre Grothendieck y David Mumford . [1] La carta de Grothendieck del 4 de noviembre de 1966 a Mumford también indica que la estructura revisada de la segunda edición ya estaba en su lugar en ese momento, con el Capítulo VIII ya destinado a cubrir el esquema Picard . En esa carta estimó que al ritmo de redacción hasta ese momento, los siguientes cuatro capítulos (V a VIII) habrían tardado ocho años en completarse, lo que indica una extensión prevista comparable a los primeros cuatro capítulos, que se habían estado preparando para unos ocho años en ese momento.
Sin embargo, Grothendieck escribió una versión revisada de EGA I que fue publicada por Springer-Verlag . Actualiza la terminología, reemplazando "preesquema" por "esquema" y "esquema" por "esquema separado", y enfatiza fuertemente el uso de functores representables . El nuevo prefacio de la segunda edición también incluye un plan ligeramente revisado del tratado completo, ahora dividido en doce capítulos.
El EGA V de Grothendieck, que trata de los teoremas del tipo de Bertini, está disponible hasta cierto punto en el sitio web de Grothendieck Circle . Monografie Matematyczne en Polonia ha aceptado este volumen para su publicación, pero el proceso de edición es bastante lento (a partir de 2010). James Milne ha conservado algunas de las notas originales de Grothendieck y una traducción de ellas al inglés. Pueden estar disponibles en sus sitios web conectados con la Universidad de Michigan en Ann Arbor .
Capítulos
La siguiente tabla presenta el plan original y revisado del tratado e indica dónde (en SGA o en otro lugar) los temas previstos para los capítulos inéditos posteriores fueron tratados por Grothendieck y sus colaboradores.
# | Primera edición | Segunda edicion | Comentarios |
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I | Le langage des schémas | Le langage des schémas | La segunda edición incluye ciertos esquemas que representan a functores como Grassmannianos , presumiblemente del Capítulo V de la primera edición. Además, el contenido de la Sección 1 del Capítulo IV de la primera edición se trasladó al Capítulo I en la segunda edición. |
II | Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes | Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes | Primera edición completa, segunda edición no apareció. |
III | Étude cohomologique des faisceaux cohérents | Cohomologie des Faisceaux algébriques cohérents. Aplicaciones. | Primera edición completa excepto las últimas cuatro secciones, destinadas a la publicación después del Capítulo IV: dualidad proyectiva elemental, cohomología local y su relación con la cohomología proyectiva, y grupos Picard (todos menos dualidad proyectiva tratada en SGA II ). |
IV | Étude locale des schémas et des morphismes de schémas | Étude locale des schémas et des morphismes de schémas | Primera edición esencialmente completa; algunos cambios realizados en las últimas secciones; la sección sobre secciones de hiperplano se convirtió en el nuevo Capítulo V de la segunda edición (existe un borrador) |
V | Procédés élémentaires de construction de schémas | Complementos sur les morphismes projectifs | No se apareció. Algunas construcciones elementales de esquemas aparentemente destinados a la primera edición aparecen en el capítulo I de la segunda edición. El borrador existente del Capítulo V corresponde al plan de la segunda edición. También incluye el tratamiento ampliado de algunos materiales de SGA VII . |
VI | Técnica de descente. Méthode générale de construction des schémas | Techniques de construction de schémas | No se apareció. Teoría del descenso y técnicas de construcción relacionadas resumidas por Grothendieck en FGA . En 1968, el plan había evolucionado para tratar espacios algebraicos y pilas algebraicas . |
VII | Schémas de groupes, espaces fibrés principaux | Schémas en groupes, espaces fibrés principaux | No se apareció. Tratado en detalle en SGA III . |
VIII | Étude différentielle des espaces fibrés | Le schéma de Picard | No se apareció. El material aparentemente destinado a la primera edición se puede encontrar en SGA III , la construcción y los resultados del esquema Picard se resumen en FGA . |
IX | Le groupe fondamental | Le groupe fondamental | No se apareció. Tratado en detalle en la SGA I . |
X | Résidus et dualité | Résidus et dualité | No se apareció. Tratado en detalle en la edición de Hartshorne de las notas de Grothendieck "Residuos and duality" |
XI | Théorie d'intersection, clases de Chern, théorème de Riemann-Roch | Théorie d'intersection, clases de Chern, théorème de Riemann-Roch | No se apareció. Tratado en detalle en SGA VI . |
XII | Schémas abéliens et schémas de Picard | Cohomologie étale des schémas | No se apareció. Cohomology Étale tratado en detalle en SGA IV , SGA V . |
XIII | Cohomologie de Weil | ninguno | Destinado a cubrir la cohomología étale en la primera edición. |
Además de los capítulos reales, un extenso "Capítulo 0" sobre varios preliminares se dividió entre los volúmenes en los que apareció el tratado. Los temas tratados van desde la teoría de categorías , la teoría de gavillas y la topología general hasta el álgebra conmutativa y el álgebra homológica . La parte más larga del Capítulo 0, adjunta al Capítulo IV, tiene más de 200 páginas.
Grothendieck nunca dio permiso para que se volviera a publicar la segunda edición de EGA I , por lo que las copias son raras pero se encuentran en muchas bibliotecas. El trabajo sobre EGA fue finalmente interrumpido por la salida de Grothendieck primero de IHÉS en 1970 y poco después del establecimiento matemático por completo. Las notas incompletas de Grothendieck sobre EGA V se pueden encontrar en Grothendieck Circle .
En términos históricos, el desarrollo del enfoque EGA puso el sello a la aplicación de la teoría de la gavilla a la geometría algebraica, puesta en marcha por el artículo básico FAC de Serre . También contenía la primera exposición completa del enfoque algebraico del cálculo diferencial, a través de partes principales. La unificación fundamental que propuso (ver, por ejemplo, las teorías unificadoras en matemáticas ) ha resistido la prueba del tiempo.
EGA ha sido escaneada por NUMDAM y está disponible en su sitio web en "Publications mathématiques de l'IHÉS", volúmenes 4 (EGAI), 8 (EGAII), 11 (EGAIII.1re), 17 (EGAIII.2e), 20 (EGAIV .1re), 24 (EGAIV.2e), 28 (EGAIV.3e) y 32 (EGAIV.4e).
Información bibliográfica
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1971). Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (en francés). 166 (2ª ed.). Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05113-8.
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 : 5–228. doi : 10.1007 / bf02684778 . Señor 0217083 .[2]
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 8 : 5–222. doi : 10.1007 / bf02699291 . Señor 0217084 .
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1961). "Elementos de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 11 : 5-167. doi : 10.1007 / bf02684274 . Señor 0217085 .
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1963). "Éléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Seconde partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 17 : 5-91. doi : 10.1007 / bf02684890 . Señor 0163911 .
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 20 : 5–259. doi : 10.1007 / bf02684747 . Señor 0173675 .
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1965). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 24 : 5-231. doi : 10.1007 / bf02684322 . Señor 0199181 .
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 28 : 5–255. doi : 10.1007 / bf02684343 . Señor 0217086 .
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5-361. doi : 10.1007 / bf02732123 . Señor 0238860 .
Ver también
- Fondements de la Géometrie Algébrique ( FGA )
- Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie ( SGA )
Referencias
- ^ Mumford, David (2010). Ching-Li Chai ; Amnon Neeman; Takahiro Shiota. (eds.). Artículos seleccionados, Volumen II. Sobre geometría algebraica, incluida la correspondencia con Grothendieck . Saltador. págs. 720, 722. ISBN 978-0-387-72491-1.
- ^ Lang, S. (1961). "Reseña: Éléments de géométrie algébrique , par A. Grothendieck, rédigés con la colaboración de J. Dieudonné" (PDF) . Toro. Amer. Matemáticas. Soc . 67 (3): 239–246. doi : 10.1090 / S0002-9904-1961-10564-8 .
Enlaces externos
- Copias escaneadas y traducciones parciales al inglés: Textos matemáticos
- Tabla de contenido detallada: EGA
- SGA , EGA , FGA de Mateo Carmona