En matemáticas , en particular en el análisis no lineal , una variedad de Fréchet es un espacio topológico modelado en un espacio de Fréchet de la misma manera que una variedad se modela en un espacio euclidiano .
Más precisamente, una variedad de Fréchet consiste en un espacio X de Hausdorff con un atlas de gráficos de coordenadas sobre espacios de Fréchet cuyas transiciones son mapeos suaves . Por lo tanto, X tiene una cubierta abierta { U α } α ε I , y una colección de homeomorfismos φ α : U α → F α en sus imágenes, donde F α son espacios de Fréchet, de manera que
- es suave para todos los pares de índices α, β.
Clasificación hasta homeomorfismo
De ninguna manera es cierto que una variedad de dimensión finita de dimensión n sea globalmente homeomórfica para R n , o incluso un subconjunto abierto de R n . Sin embargo, en un entorno de dimensión infinita, es posible clasificar muy bien las variedades de Fréchet “ bien portados ” hasta el homeomorfismo. A 1969 teorema de David Henderson afirma que cada-infinito dimensional, separable , métrica Fréchet colector X puede ser incrustado como un subconjunto abierto de la dimensión infinita, separable espacio de Hilbert , H (hasta el isomorfismo lineal, sólo hay un tal espacio) .
El homeomorfismo incrustación se puede utilizar como un gráfico global para X . Así, en el caso métrico separable de dimensión infinita, hasta el homeomorfismo, las “únicas” variedades de Fréchet topológicas son los subconjuntos abiertos del espacio de Hilbert de dimensión infinita separable. Pero en el caso de variedades de Fréchet diferenciables o suaves (hasta la noción apropiada de difeomorfismo) esto falla [ cita requerida ] .
Ver también
- Variedad de Banach , de la cual una variedad de Fréchet es una generalización
- Colectores de mapeos
Referencias
- Hamilton, Richard S. (1982). "El teorema de la función inversa de Nash y Moser" . Toro. Amer. Matemáticas. Soc. (NS) . 7 (1): 65–222. doi : 10.1090 / S0273-0979-1982-15004-2 . ISSN 0273-0979 . SEÑOR656198
- Henderson, David W. (1969). "Las variedades de dimensión infinita son subconjuntos abiertos del espacio de Hilbert" . Toro. Amer. Matemáticas. Soc . 75 (4): 759–762. doi : 10.1090 / S0002-9904-1969-12276-7 . SEÑOR0247634