En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , los espacios de Fréchet , que llevan el nombre de Maurice Fréchet , son espacios vectoriales topológicos especiales . Son generalizaciones de espacios de Banach ( espacios vectoriales normativos que son completos con respecto a la métrica inducida por la norma ). Todos los espacios de Banach e Hilbert son espacios de Fréchet. Los espacios de funciones infinitamente diferenciables son ejemplos típicos de espacios de Fréchet, muchos de los cuales no suelen ser espacios de Banach.
Un espacio Fréchet se define como un espacio vectorial topológico (TVS) localmente convexo metrizable que está completo como un TVS , [1] lo que significa que cada secuencia de Cauchy en converge a algún punto en (ver nota a pie de página para más detalles). [nota 1]
- Nota importante : no todos los autores requieren que un espacio de Fréchet sea localmente convexo (se analiza a continuación).
La topología de cada espacio de Fréchet está inducida por alguna métrica completa invariante en la traducción . Por el contrario, si la topología de un espacio convexo local es inducida por una métrica completa invariante en la traducción, entonces es un espacio de Fréchet.
Fréchet fue el primero en utilizar el término " espacio de Banach " y Banach a su vez, a continuación, acuñó el término "espacio de Fréchet" en el sentido de una completa espacio vectorial topológico metrizable , sin el requisito de la convexidad local (tal espacio es hoy a menudo llamado un " F- espacio "). [1] La condición de convexo local fue agregada más tarde por Nicolas Bourbaki . [1] Es importante señalar que un número considerable de autores (por ejemplo, Schaefer) usan "espacio F" para referirse a un espacio de Fréchet (localmente convexo) mientras que otros no requieren que un "espacio de Fréchet" sea localmente convexo. Además, algunos autores incluso usan " F -space" y "Fréchet space" indistintamente. Al leer literatura matemática, se recomienda que el lector compruebe siempre si la definición del libro o artículo de " espacio F " y "espacio de Fréchet" requiere convexidad local. [1]
Definiciones
Los espacios de Fréchet se pueden definir de dos formas equivalentes: la primera emplea una métrica invariante en la traducción , la segunda una familia contable de semi-normas .
Definición métrica invariante
Un espacio vectorial topológico es un espacio de Fréchet si y solo si satisface las siguientes tres propiedades:
- Es localmente convexo . [nota 2]
- Su topología puede ser inducida por una métrica invariante en traducción, es decir, una métrica tal que para todos Esto significa que un subconjunto de está abierto si y solo si para cada existe un tal que } es un subconjunto de
- Alguna (o equivalentemente, cada) métrica invariante a la traducción en induciendo la topología de está completo .
- Suponiendo que se satisfacen las otras dos condiciones, esta condición es equivalente a siendo un espacio vectorial topológico completo , lo que significa quees un espacio uniforme completo cuando está dotado de su uniformidad canónica (esta uniformidad canónica es independiente de cualquier métrica en y se define completamente en términos de sustracción de vectores y barrios del origen; Además, la uniformidad inducida por cualquier métrica invariante de traducción (que define la topología) en es idéntica a esta uniformidad canónica).
Tenga en cuenta que no existe una noción natural de distancia entre dos puntos de un espacio de Fréchet: muchas métricas diferentes invariantes en la traducción pueden inducir la misma topología.
Definición de familia contable de semi-normas
La definición alternativa y algo más práctica es la siguiente: un espacio vectorial topológico es un espacio de Fréchet si y solo si satisface las siguientes tres propiedades:
- Es un espacio de Hausdorff ,
- Su topología puede ser inducida por una familia contable de semi-normas. Esto significa que un subconjunto está abierto si y solo si para cada existe y tal que es un subconjunto de
- es completo con respecto a la familia de las semi-normas.
Una familia de seminarios en produce una topología de Hausdorff si y solo si [2]
Una secuencia en converge a en el espacio de Fréchet definido por una familia de semi-normas si y sólo si converge a con respecto a cada una de las semi-normas dadas.
Como espacios palmeados de Baire
Teorema [3] (de Wilde 1978) - Un espacio vectorial topológico es un espacio Fréchet si y solo si es un espacio palmeado y un espacio Baire .
Comparación con los espacios de Banach
A diferencia de los espacios de Banach , la métrica invariante de traducción completa no tiene por qué surgir de una norma. La topología de un espacio de Fréchet, sin embargo, surge tanto de una paranorm total como de una F -norm (la F significa Fréchet).
Aunque la estructura topológica de los espacios de Fréchet es más complicada que la de los espacios de Banach debido a la posible falta de una norma, muchos resultados importantes en el análisis funcional, como el teorema de mapeo abierto , el teorema del grafo cerrado y el teorema de Banach-Steinhaus , todavía mantienen.
Construyendo espacios Fréchet
Recuerde que un seminario es una función de un espacio vectorial a los números reales que satisfacen tres propiedades. Para todos y todos los escalares
Si en realidad implica que luego es de hecho una norma. Sin embargo, los seminarios son útiles porque nos permiten construir espacios de Fréchet, de la siguiente manera:
Para construir un espacio de Fréchet, normalmente se comienza con un espacio vectorial y define una familia contable de semi-normas en con las siguientes dos propiedades:
- Si y para todos luego ;
- Si es una secuencia en que es Cauchy con respecto a cada semi-norma entonces existe tal que converge a con respecto a cada semi-norma
Entonces, la topología inducida por estos seminormas (como se explicó anteriormente) se convierte en un espacio Fréchet; la primera propiedad asegura que es Hausdorff, y la segunda propiedad asegura que esté completa. Una métrica completa invariante en la traducción que induce la misma topología en entonces puede ser definido por
La función mapas monótonamente a y así la definición anterior asegura que es "pequeño" si y solo si existe "grande" tal que es "pequeño" para
Ejemplos de
Del análisis funcional puro
- Cada espacio de Banach es un espacio de Fréchet, ya que la norma induce una métrica invariante en la traducción y el espacio es completo con respecto a esta métrica.
- El espacio R ω {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ omega}} de todas las secuencias valoradas reales se convierte en un espacio de Fréchet si definimos el-th semi-norma de una secuencia para ser el valor absoluto de la-th elemento de la secuencia. La convergencia en este espacio de Fréchet es equivalente a la convergencia de elementos.
De colectores lisos
- El espacio vectorial de todas las funciones infinitamente diferenciables se convierte en un espacio Fréchet con los seminarios
- El espacio vectorial de todas las funciones infinitamente diferenciables se convierte en un espacio Fréchet con los seminarios
- El espacio vectorial de todo -veces funciones continuamente diferenciables se convierte en un espacio Fréchet con los seminarios
- Si es un compacto - colector yes un espacio de Banach , entonces el conjunto de todas las funciones diferenciables infinitamente a menudo puede convertirse en un espacio de Fréchet utilizando como seminormas el supremo de las normas de todas las derivadas parciales. Si es un (no necesariamente compacto) -manifold que admite una secuencia contable de subconjuntos compactos, de modo que cada subconjunto compacto de está contenido en al menos una luego los espacios y también son el espacio Fréchet de una manera natural. Como caso especial, cada colector completo liso de dimensión finita se puede convertir en una unión anidada de subconjuntos compactos: equípelo con una métrica de Riemann que induce una métrica escoger y deja
De la holomorficidad
- Dejar ser el espacio de funciones completas (en todas partes holomórficas ) en el plano complejo. Entonces la familia de seminormas
- Dejar 'ser el espacio de funciones completas (en todas partes holomórficas) de tipo exponencial Entonces la familia de seminormas
No todos los espacios vectoriales con métricas invariantes de traducción completas son espacios de Fréchet. Un ejemplo es el espacio L pag ( [ 0 , 1 ] ) {\ Displaystyle L ^ {p} ([0,1])} con A pesar de que este espacio no puede ser localmente convexa, es un F-espacio .
Propiedades y otras nociones
Si un espacio de Fréchet admite una norma continua, podemos tomar todas las seminormas como normas añadiendo la norma continua a cada una de ellas. Un espacio de Banach, con compacto, y todos admiten normas, mientras y no hacer.
Un subespacio cerrado de un espacio de Fréchet es un espacio de Fréchet. Un cociente de un espacio de Fréchet por un subespacio cerrado es un espacio de Fréchet. La suma directa de un número finito de espacios de Fréchet es un espacio de Fréchet.
Un producto de innumerables espacios Fréchet es siempre una vez más un espacio Fréchet. Sin embargo, un producto arbitrario de los espacios de Fréchet será un espacio de Fréchet si y solo si todos, excepto como máximo, muchos de ellos son triviales (es decir, tienen dimensión 0). En consecuencia, un producto de innumerables espacios de Fréchet no triviales no puede ser un espacio de Fréchet (de hecho, tal producto ni siquiera es metrizable porque su origen no puede tener una base de vecindad contable). Entonces, por ejemplo, si es cualquier conjunto y es cualquier espacio de Fréchet no trivial (como por ejemplo), luego el producto es un espacio de Fréchet si y solo si es un conjunto contable.
Varias herramientas importantes de análisis funcional que se basan en el teorema de la categoría de Baire siguen siendo válidas en los espacios de Fréchet; ejemplos son el teorema del grafo cerrado y el teorema del mapeo abierto .
Todos los espacios de Fréchet son espacios estereotipados . En la teoría de los espacios estereotipados, los espacios de Fréchet son objetos duales de los espacios de Brauner .
Cada operador lineal acotado desde un espacio de Fréchet a otro espacio vectorial topológico (TVS) es continuo. [4]
Existe un espacio Fréchet tener un subconjunto acotado y también un subespacio vectorial denso tal que no está contenido en el cierre (en) de cualquier subconjunto acotado de [5]
Todos los espacios Montel metrizables son separables . [6] Un espacio de Fréchet separable es un espacio de Montel si y solo si cada secuencia débil- * convergente en su doble continuo converge es fuertemente convergente . [6]
El fuerte espacio dual de un espacio de Fréchet (y más generalmente, de cualquier espacio localmente convexo metrizable [7] )es un espacio DF . [8] El fuerte dual de un espacio DF es un espacio Fréchet . [9] El dual fuerte de un espacio reflexivo de Fréchet es un espacio bornológico [7] y un espacio Ptak . Cada espacio de Fréchet es un espacio de Ptak. El bidual fuerte (es decir, el espacio dual fuerte del espacio dual fuerte) de un espacio localmente convexo metrizable es un espacio de Fréchet. [10]
Normas y normalidad
Si es un espacio localmente convexo, entonces la topología de puede ser definido por una familia de normas continuas sobre(una norma es una seminorma positiva-definida ) si y solo si existe al menos una norma continua en[11] Incluso si un espacio de Fréchet tiene una topología que está definida por una familia (contable) de normas (todas las normas son también seminormales), entonces aún puede fallar en ser espacio normable (lo que significa que su topología no puede ser definida por cualquier norma única). El espacio de todas las secuencias (con la topología del producto) es un espacio de Fréchet. No existe ninguna topología convexa local de Hausdorff enque es estrictamente más tosca que la topología de este producto. [12] El espaciono es normable , lo que significa que su topología no puede ser definida por ninguna norma . [12] Además, no existe ninguna norma continua sobre De hecho, como muestra el siguiente teorema, siempre que es un espacio de Fréchet en el que no existe ninguna norma continua, entonces esto se debe enteramente a la presencia de como subespacio.
Teorema [12] - Sea ser un espacio de Fréchet sobre el campo Entonces los siguientes son equivalentes:
- no no admitir una norma continua (es decir, cualquier seminorma continua enno puede ser una norma).
- contiene un subespacio vectorial que es TVS-isomorfo a
- contiene un subespacio vectorial complementado que es TVS-isomorfo a
Si es un espacio Fréchet no normable en el que existe una norma continua, entonces contiene un subespacio vectorial cerrado que no tiene complemento topológico . [13]
Un espacio localmente convexo metrizable es normable si y sólo si su fuerte espacio dual es un espacio localmente convexo de Fréchet-Urysohn . [8] En particular, si un espacio metrizable localmente convexo(como un espacio de Fréchet) no es normable (lo que solo puede suceder sies de dimensión infinita) entonces su fuerte espacio dual no es un espacio de Fréchet-Urysohn y, en consecuencia, este espacio localmente convexo de Hausdorff completo tampoco es metrizable ni normalizable.
El fuerte espacio dual de un espacio de Fréchet (y más generalmente, de espacios bornológicos como los TVS metrizables) es siempre un TVS completo y, por lo tanto, como cualquier TVS completo, es normable si y solo si su topología puede ser inducida por una norma completa ( es decir, si y solo si se puede convertir en un espacio de Banach que tenga la misma topología). Si es un espacio de Fréchet entonces es normable si (y solo si) existe una norma completa en su espacio dual continuo tal que la norma indujo la topología en es más fina que la topología débil- *. [14] En consecuencia, si un espacio de Fréchet no es normable (lo que solo puede suceder si es de dimensión infinita), tampoco lo es su espacio dual fuerte.
Teorema de Anderson-Kadec
Teorema de Anderson-Kadec : todo espacio de Fréchet real separable de dimensión infinita es homeomórfico parael producto cartesiano de innumerables copias de la línea real
Tenga en cuenta que el homeomorfismo descrito en el teorema de Anderson-Kadec no es necesariamente lineal.
Teorema de Eidelheit : un espacio de Fréchet es isomorfo a un espacio de Banach o tiene un espacio cociente isomorfo a
Diferenciación de funciones
Si y son espacios de Fréchet, luego el espacio que consta de todos los mapas lineales continuos de a no es un espacio de Fréchet de forma natural. Esta es una gran diferencia entre la teoría de los espacios de Banach y la de los espacios de Fréchet y requiere una definición diferente para la diferenciación continua de funciones definidas en los espacios de Fréchet, la derivada de Gateaux :
Suponer es un subconjunto abierto de un espacio Fréchet es una función valorada en un espacio de Fréchet y El mapa es diferenciable en en la dirección si el limite
existe. El mapase dice que es continuamente diferenciable en si el mapa
es continuo. Dado que el producto de los espacios de Fréchet es nuevamente un espacio de Fréchet, podemos intentar diferenciar y definir las derivadas superiores de de esta manera.
El operador derivado definido por es en sí mismo infinitamente diferenciable. La primera derivada está dada por
para dos elementos cualesquiera Esta es una gran ventaja del espacio Fréchet. sobre el espacio de Banach para finito
Si es una función continuamente diferenciable, entonces la ecuación diferencial
no necesita tener ninguna solución, e incluso si la tiene, las soluciones no tienen por qué ser únicas. Esto está en marcado contraste con la situación en los espacios de Banach.
En general, el teorema de la función inversa no es cierto en los espacios de Fréchet, aunque un sustituto parcial es el teorema de Nash-Moser .
Variedades de Fréchet y grupos de Lie
Se pueden definir las variedades de Fréchet como espacios que "localmente se parecen" a los espacios de Fréchet (al igual que las variedades ordinarias se definen como espacios que localmente se parecen a un espacio euclidiano ), y luego se puede extender el concepto de grupo de Lie a estas variedades. Esto es útil porque para un compacto (ordinario) dado colector el conjunto de todos difeomorfismos forma un grupo de Lie generalizado en este sentido, y este grupo de Lie captura las simetrías de Algunas de las relaciones entre las álgebras de Lie y los grupos de Lie siguen siendo válidas en este contexto.
Otro ejemplo importante de un grupo de Fréchet Lie es el grupo de bucles de un grupo de Lie compacto el suave () mapeos multiplicado puntualmente por [15] [16]
Generalizaciones
Si eliminamos el requisito de que el espacio sea localmente convexo, obtenemos espacios F : espacios vectoriales con métricas invariantes de traducción completas.
Los espacios LF son límites inductivos contables de los espacios de Fréchet.
Ver también
- Espacio de Banach: espacio vectorial normalizado que está completo
- Espacio Brauner
- Espacio métrico completo : un conjunto con una noción de distancia donde convergerá cada secuencia de puntos que se acercan progresivamente entre sí.
- Espacio vectorial topológico completo : un TVS donde los puntos que se acercan progresivamente entre sí siempre convergerán en un punto.
- Espacio F: espacio vectorial topológico con una métrica invariante de traducción completa
- Celosía Fréchet
- Espacio de Hilbert : generalización matemática del espacio euclidiano a dimensiones infinitas
- Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
- Espacio vectorial topológico metrizable : un espacio vectorial topológico cuya topología se puede definir mediante una métrica
- Sobreyección de espacios de Fréchet - Un teorema que caracteriza cuando un mapa lineal continuo entre espacios de Fréchet es sobreyectivo.
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
Notas
- ^ Aquí "Cauchy" significa Cauchy con respecto a la uniformidad canónica queposeentodos los televisores . Es decir, una secuencia en un televisor es Cauchy si y solo si para todos los barrios del origen en cuando sea y son suficientemente grandes. Tenga en cuenta que esta definición de una secuencia de Cauchy no depende de ninguna métrica en particular y ni siquiera requiere que ser metrizable.
- ^ Algunos autores no incluyen la convexidad local como parte de la definición de un espacio de Fréchet.
Citas
- ↑ a b c d Narici y Beckenstein , 2011 , p. 93.
- ^ Conway 1990 , Capítulo 4.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , p. 472.
- ^ Trèves , 2006 , p. 142.
- ↑ Wilansky , 2013 , p. 57.
- ↑ a b Schaefer y Wolff , 1999 , págs. 194-195.
- ↑ a b Schaefer y Wolff , 1999 , p. 154.
- ^ a b Gabriyelyan, SS "Sobre espacios topológicos y grupos topológicos con ciertas redes contables locales (2014)
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 196.
- ^ Schaefer y Wolff 1999 , págs. 154-155.
- ^ Jarchow 1981 , p. 130.
- ↑ a b c Jarchow , 1981 , págs. 129-130.
- ^ Schaefer y Wolff 1999 , págs. 190-202.
- ^ "El dual de un espacio Fréchet" . 24 de febrero de 2012 . Consultado el 26 de abril de 2021 .
- ^ Sergeev 2010
- ^ Pressley y Segal 1986
Referencias
- "Espacio Fréchet" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Berberiano, Sterling K. (1974). Conferencias en Análisis Funcional y Teoría del Operador . Textos de Posgrado en Matemáticas. 15 . Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401 .
- Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur certains espaces vectoriels topologiques [ Espacios vectoriales topológicos: Capítulos 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlin Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
- Conway, John (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de Posgrado en Matemáticas . 96 (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
- Edwards, Robert E. (1995). Análisis funcional: teoría y aplicaciones . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
- Grothendieck, Alexander (1973). Espacios vectoriales topológicos . Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
- Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
- Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Apuntes de clase en matemáticas . 936 . Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 .
- Köthe, Gottfried (1983). Espacios vectoriales topológicos I . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 159 . Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Señor 0248498 . OCLC 840293704 .
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Pressley, Andrew; Segal, Graeme (1986). Grupos de bucle . Monografías matemáticas de Oxford. Publicaciones científicas de Oxford. Nueva York: Oxford University Press . ISBN 0-19-853535-X. Señor 0900587 .
- Robertson, Alex P .; Robertson, Wendy J. (1980). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Tracts in Mathematics . 53 . Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 .
- Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Sergeev, Armen (2010). Geometría de espacios de bucle de Kähler . Memorias de la Sociedad Matemática de Japón. 23 . Publicaciones científicas mundiales . doi : 10.1142 / e023 . ISBN 978-4-931469-60-0.
- Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Espacios vectoriales topológicos: la teoría sin condiciones de convexidad . Apuntes de clase en matemáticas. 639 . Berlín Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 .
- Swartz, Charles (1992). Introducción al análisis funcional . Nueva York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .