Cadenas fractales ordinarias
Una cadena fractal ordinariaes un subconjunto abierto y acotado de la recta numérica real. Cualquiera de estos subconjuntos se puede escribir como una unión contable de intervalos abiertos conectados con longitudes asociadasescrito en orden no creciente. Permitimos constar de un número finito de intervalos abiertos, en cuyo caso consta de un número finito de longitudes. Nos referimos acomo una cadena fractal .
Ejemplo
El conjunto de Cantor del tercio medio se construye quitando el tercio medio del intervalo unitario., luego eliminando los tercios medios de los intervalos subsiguientes, ad infinitum . Los intervalos eliminados tener longitudes correspondientes . Inductivamente, podemos demostrar que hay intervalos correspondientes a cada longitud de . Por tanto, decimos que la multiplicidad de la longitud es .
Heurístico
La información geométrica del conjunto de Cantor en el ejemplo anterior está contenida en la cadena fractal ordinaria . A partir de esta información, podemos calcular la dimensión de recuento de cajas del conjunto de Cantor. Esta noción de dimensión fractal se puede generalizar a la de dimensión compleja , lo que nos dará información geométrica completa sobre las oscilaciones locales en la geometría del conjunto de Cantor.
La función zeta geométrica
Si Nosotros decimos eso tiene una realización geométrica en , donde el son intervalos en , de todas las longitudes , tomado con multiplicidad.
Por cada cadena fractal , podemos asociarnos a una función zeta geométrica definida como la serie Dirichlet . Polos de la función zeta geométrica se llaman dimensiones complejas de la cadena fractal . La filosofía general de la teoría de dimensiones complejas para cuerdas fractales es que las dimensiones complejas describen la oscilación intrínseca en la geometría, espectros y dinámica de la cuerda fractal..
La abscisa de la convergencia de Se define como .
Por una cadena fractal con infinitas longitudes distintas de cero, la abscisa de convergencia coincide con la dimensión de Minkowski del límite de la cuerda,. Para nuestro ejemplo, la cadena de límite de Cantor es el propio conjunto de Cantor. Entonces, la abscisa de convergencia de la función zeta geométrica es la dimensión de Minkowski del conjunto de Cantor, que es .
Dimensiones complejas
Por una cadena fractal , compuesto por una secuencia infinita de longitudes, las dimensiones complejas de la cadena fractal son los polos de la continuación analítica de la función zeta geométrica asociada con la cadena fractal. (Cuando la continuación analítica de una función zeta geométrica no está definida para todo el plano complejo, tomamos un subconjunto del plano complejo llamado "ventana" y buscamos las dimensiones complejas "visibles" que existen dentro de esa ventana. [ 1] )
Ejemplo
Continuando con el ejemplo de la cadena fractal asociada al conjunto de Cantor de tercios medios, calculamos . Calculamos la abscisa de convergencia como el valor de satisfactorio , así que eso es la dimensión de Minkowski del conjunto de Cantor.
Para complejos , tiene polos en las infinitas soluciones de, que, para este ejemplo, ocurren en , para todos los enteros . Esta colección de puntos se denomina conjunto de dimensiones complejas del conjunto de Cantor de tercios medios.
Aplicaciones
Para cadenas fractales asociadas con conjuntos como conjuntos de Cantor, formados a partir de intervalos eliminados que son potencias racionales de una longitud fundamental, las dimensiones complejas aparecen en una progresión aritmética regular paralela al eje imaginario, y se denominan cadenas fractales de celosía . Los conjuntos que no tienen esta propiedad se denominan no reticulados . Existe una dicotomía en la teoría de las medidas de tales objetos: una cadena fractal ordinaria es medible por Minkowski si y solo si no es reticular.
Se ha propuesto que la existencia de dimensiones complejas no reales con parte real positiva es la característica distintiva de los objetos fractales. [1] Formalmente, Michel Lapidus y Machiel van Frankenhuijsen proponen definir la “fractalidad” como la presencia de al menos una dimensión compleja no real con parte real positiva. [1] Esta nueva definición de fractalidad resuelve algunos viejos problemas de geometría fractal. Por ejemplo, todos pueden estar de acuerdo en que la escalera del diablo de Cantor es fractal, que es con esta nueva definición de fractalidad en términos de dimensiones complejas, pero no en el sentido de Mandelbrot.
Cadenas fractales generalizadas
Referencias
- ^ a b c M. L. Lapidus, M. van Frankenhuijsen, Fractal Geometry, Complex Dimensions and Zeta Functions: Geometry and Spectra of Fractal Strings , Monographs in Mathematics, Springer, Nueva York, Segunda edición revisada y ampliada, 2012. doi : 10.1007 / 978 -1-4614-2176-4