En el campo del análisis matemático , una serie de Dirichlet general es una serie infinita que toma la forma de
dónde , son números complejos yes una secuencia estrictamente creciente de números reales no negativos que tiende al infinito.
Una simple observación muestra que una serie de Dirichlet 'ordinaria'
se obtiene sustituyendo mientras que una serie de poder
se obtiene cuando .
Teoremas fundamentales
Si una serie de Dirichlet es convergente en , entonces es uniformemente convergente en el dominio
y convergente para cualquier dónde .
Ahora hay tres posibilidades con respecto a la convergencia de una serie de Dirichlet, es decir, puede converger para todos, para ninguno o para algunos valores de s . En el último caso, existe un tal que la serie sea convergente para y divergente para. Por convención, si la serie no converge en ninguna parte y si la serie converge en todas partes del plano complejo .
Abscisa de convergencia
La abscisa de convergencia de una serie de Dirichlet se puede definir comosobre. Otra definición equivalente es
La línea se llama línea de convergencia . El semiplano de convergencia se define como
La abscisa , la línea y el semiplano de convergencia de una serie de Dirichlet son análogos al radio , la frontera y el disco de convergencia de una serie de potencias .
En la línea de convergencia, la cuestión de la convergencia permanece abierta como en el caso de las series de potencias. Sin embargo, si una serie de Dirichlet converge y diverge en diferentes puntos de la misma línea vertical, esta línea debe ser la línea de convergencia. La prueba está implícita en la definición de abscisas de convergencia. Un ejemplo sería la serie
que converge en ( serie armónica alterna ) y diverge en( serie armónica ). Por lo tanto, es la línea de convergencia.
Suponga que una serie de Dirichlet no converge en , entonces está claro que y diverge. Por otro lado, si una serie de Dirichlet converge en, luego y converge. Por tanto, hay dos fórmulas para calcular, dependiendo de la convergencia de que puede determinarse mediante varias pruebas de convergencia . Estas fórmulas son similares al teorema de Cauchy-Hadamard para el radio de convergencia de una serie de potencias.
Si es divergente, es decir , luego es dado por
Si es convergente, es decir , luego es dado por
Abscisa de convergencia absoluta
Una serie de Dirichlet es absolutamente convergente si la serie
es convergente. Como de costumbre, una serie de Dirichlet absolutamente convergente es convergente, pero lo contrario no siempre es cierto.
Si una serie de Dirichlet es absolutamente convergente en , entonces es absolutamente convergente para todos los s donde. Una serie de Dirichlet puede converger absolutamente para todos, para ninguno o para algunos valores de s . En el último caso, existe un tal que la serie converja absolutamente para y converge no absolutamente para .
La abscisa de la convergencia absoluta se puede definir como arriba, o equivalentemente como
La línea y el semiplano de convergencia absoluta se pueden definir de manera similar. También hay dos fórmulas para calcular.
Si es divergente, entonces es dado por
Si es convergente, entonces es dado por
En general, la abscisa de convergencia no coincide con la abscisa de convergencia absoluta. Por lo tanto, podría haber una franja entre la línea de convergencia y la convergencia absoluta donde una serie de Dirichlet es condicionalmente convergente . El ancho de esta tira viene dado por
En el caso donde L = 0, entonces
Todas las fórmulas proporcionadas hasta ahora siguen siendo válidas para las series de Dirichlet 'ordinarias' sustituyendo.
Otras abscisas de convergencia
Es posible considerar otras abscisas de convergencia para una serie de Dirichlet. La abscisa de la convergencia acotada es dado por
mientras que la abscisa de la convergencia uniforme es dado por
Estas abscisas están relacionadas con la abscisa de convergencia. y de absoluta convergencia por las fórmulas
,
y un notable teorema de Bohr de hecho muestra que para cualquier serie de Dirichlet ordinaria donde (es decir, la serie de Dirichlet de la forma ), y [1] Bohnenblust y Hille demostraron posteriormente que para cada número hay series de Dirichlet para cual [2]
Una fórmula para la abscisa de convergencia uniforme. para la serie general Dirichlet se da de la siguiente manera: para cualquier , dejar , luego [3]
Funciones analíticas
Una función representada por una serie de Dirichlet
es analítica en el semiplano de convergencia. Además, para
Más generalizaciones
Una serie de Dirichlet se puede generalizar aún más al caso de múltiples variables donde, k = 2, 3, 4, ..., o caso de variable compleja donde, m = 1, 2, 3, ...
Referencias
- ^ McCarthy, John E. (2018). "Serie Dirichlet" (PDF) .
- ^ Bohnenblust y Hille (1931). "Sobre la convergencia absoluta de la serie Dirichlet". Annals of Mathematics . 32 (3): 600–622. doi : 10.2307 / 1968255 . JSTOR 1968255 .
- ^ "Serie de Dirichlet - distancia entre σu y σc" . StackExchange . Consultado el 26 de junio de 2020 .
- GH Hardy y M. Riesz, La teoría general de la serie de Dirichlet , Cambridge University Press, primera edición, 1915.
- EC Titchmarsh , The Theory of functions , Oxford University Press, segunda edición, 1939.
- Tom Apostol , Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números , Springer, segunda edición, 1990.
- AF Leont'ev, Funciones completas y series de exponenciales (en ruso), Nauka, primera edición, 1982.
- AI Markushevich, Teoría de funciones de variables complejas (traducido del ruso), Chelsea Publishing Company, segunda edición, 1977.
- J.-P. Serre , Un curso de aritmética , Springer-Verlag, quinta edición, 1973.
- John E. McCarthy, Serie Dirichlet , 2018.
- HF Bohnenblust y Einar Hille, Sobre la convergencia absoluta de la serie Dirichlet , Annals of Mathematics, Segunda serie, vol. 32, núm. 3 (julio de 1931), págs. 600-622.
enlaces externos
- "Serie Dirichlet" . PlanetMath .
- "Serie de Dirichlet" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]