En la teoría de grupos , una rama de las matemáticas , el argumento de Frattini es un lema importante en la teoría de la estructura de los grupos finitos . Lleva el nombre de Giovanni Frattini , quien lo utilizó en un artículo de 1885 al definir el subgrupo Frattini de un grupo. El argumento fue tomado por Frattini, como él mismo admite, de un artículo de Alfredo Capelli fechado en 1884 [1].
El argumento de Frattini
Declaración
Si es un grupo finito con subgrupo normal , y si es un Sylow p -subgroup de, luego
dónde denota el normalizador de en y significa el producto de subconjuntos de grupos .
Prueba
El grupo es un Sylow -subgrupo de , entonces cada Sylow -subgrupo de es un -conjugado de , es decir, es de la forma , para algunos (ver teoremas de Sylow ). Dejar ser cualquier elemento de . Desde es normal en , el subgrupo está contenido en . Esto significa que es un Sylow -subgrupo de . Entonces, por lo anterior, debe ser-conjugar a : es decir, para algunos
- ,
y entonces
- .
Por lo tanto,
- ,
y por lo tanto . Pero fue arbitrario, por lo que
Aplicaciones
- El argumento de Frattini puede usarse como parte de una prueba de que cualquier grupo nilpotente finito es un producto directo de sus subgrupos Sylow.
- Aplicando el argumento de Frattini a , se puede demostrar que cuando sea es un grupo finito y es un Sylow -subgrupo de .
- De manera más general, si un subgrupo contiene para un poco de Sylow -subgrupo de , luego es autonormalizado, es decir .
enlaces externos
- El argumento de Frattini sobre ProofWiki
Referencias
- ^ M. Brescia, F. de Giovanni, M. Trombetti, "La verdadera historia detrás del argumento de Frattini" , Avances en la teoría de grupos y aplicaciones 3 , doi: 10.4399 / 97888255036928
- Hall, Marshall (1959). La teoría de grupos . Nueva York, NY: Macmillan. (Consulte el Capítulo 10, especialmente la Sección 10.4).