En matemáticas , particularmente en teoría de grupos , el subgrupo de Frattini de un grupo G es la intersección de todos los subgrupos máximas de G . Para el caso de que G no tenga subgrupos máximos, por ejemplo el grupo trivial { e } o el grupo Prüfer , se define por. Es análogo al radical de Jacobson en la teoría de anillos , e intuitivamente puede pensarse como el subgrupo de "elementos pequeños" (ver la caracterización de "no generadores" más abajo). Lleva el nombre de Giovanni Frattini , quien definió el concepto en un artículo publicado en 1885. [1]
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/e/ed/Dih4_subgroups_%28cycle_graphs%29.svg/360px-Dih4_subgroups_%28cycle_graphs%29.svg.png)
Diagrama de Hasse de la red de subgrupos del grupo diedro Dih 4 . En la segunda fila están los subgrupos máximos; su intersección (el subgrupo Frattini ) es el elemento central en la tercera fila. Entonces Dih 4 tiene solo un elemento no generador más allá de e .
Algunos hechos
- es igual al conjunto de todos los no generadores o elementos no generadoras de G . Un elemento no generador de G es un elemento que siempre se puede quitar de un grupo electrógeno ; es decir, un elemento a de G tal que siempre que X sea un conjunto generador de G que contenga a ,es también un conjunto de generación de G .
- es siempre un subgrupo característico de G ; en particular, siempre es un subgrupo normal de G .
- Si G es finito, entonceses nilpotente .
- Si G es un finito p -group , entonces. Por lo tanto, el subgrupo de Frattini es el subgrupo normal N más pequeño (con respecto a la inclusión) de modo que el grupo del cociente es un grupo abeliano elemental , es decir, isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos de orden p . Además, si el grupo del cociente(también llamado el cociente de Frattini de G ) tiene orden, entonces k es el número más pequeño de generadores para G (es decir, la cardinalidad más pequeña de un grupo electrógeno para G ). En particular, un grupo p finito es cíclico si y solo si su cociente de Frattini es cíclico (de orden p ). Un grupo p finito es abeliano elemental si y solo si su subgrupo Frattini es el grupo trivial ,.
- Si H y K son finitos, entonces.
Un ejemplo de un grupo con un subgrupo de Frattini no trivial es el grupo cíclico G de orden, donde p es primo, generado por a , digamos; aquí,.
Ver también
Referencias
- ↑ Frattini, Giovanni (1885). "Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni" (PDF) . Accademia dei Lincei, Rendiconti . (4). I : 281–285, 455–457. JFM 17.0097.01 .
- Hall, Marshall (1959). La teoría de los grupos . Nueva York: Macmillan. (Consulte el Capítulo 10, especialmente la Sección 10.4).