En matemáticas , se puede definir un producto de subconjuntos de grupos de forma natural. Si S y T son subconjuntos de un grupo G , entonces su producto es el subconjunto de G definido por
Los subconjuntos S y T no necesitan ser subgrupos para que este producto esté bien definido. La asociatividad de este producto se deriva de la del producto del grupo. El producto de subconjuntos de grupo, por tanto, define un naturales monoid estructura en el conjunto potencia de G .
Se puede decir mucho más en el caso de que S y T sean subgrupos. El producto de dos subgrupos S y T de un grupo G es en sí mismo un subgrupo de G si y solo si ST = TS .
Producto de subgrupos
Si S y T son subgrupos de G , su producto no necesita ser un subgrupo (por ejemplo, dos subgrupos distintos de orden 2 en el grupo simétrico de 3 símbolos). Este producto a veces se denomina producto Frobenius . [1] En general, el producto de dos subgrupos S y T es un subgrupo si y solo si ST = TS , [2] y se dice que los dos subgrupos permutan . ( Walter Ledermann ha llamado a este hecho el Teorema del producto , [3] pero este nombre, al igual que "producto de Frobenius", no es de ninguna manera estándar.) En este caso, ST es el grupo generado por S y T ; es decir, ST = TS = ⟨ S ∪ T ⟩.
Si S o T es normal, entonces se cumple la condición ST = TS y el producto es un subgrupo. [4] [5] Si tanto S como T son normales, entonces el producto también es normal. [4]
Si S y T son subgrupos finitos de un grupo G , entonces ST es un subconjunto de G de tamaño | ST | dado por la fórmula del producto :
Tenga en cuenta que esto se aplica incluso si ni S ni T son normales.
Ley modular
La siguiente ley modular (para grupos) es válida para cualquier Q un subgrupo de S , donde T es cualquier otro subgrupo arbitrario (y tanto S como T son subgrupos de algún grupo G ):
- Q ( S ∩ T ) = S ∩ ( QT ).
Los dos productos que aparecen en esta igualdad no son necesariamente subgrupos.
Si QT es un subgrupo (de forma equivalente, como se ha señalado anteriormente, si Q y T permute) entonces QT = ⟨ Q ∪ T ⟩ = Q ∨ T ; es decir, QT es la unión de Q y T en la red de subgrupos de G , y la ley modular para dicho par también puede escribirse como Q ∨ ( S ∩ T ) = S ∩ ( Q ∨ T ), que es el ecuación que define una retícula modular si se mantiene para cualquiera de los tres elementos de la celosía con Q ≤ S . En particular, dado que los subgrupos normales se permutan entre sí, forman una subred modular .
Un grupo en el que cada subgrupo permuta se denomina grupo Iwasawa . La celosía de subgrupos de un grupo Iwasawa es, por tanto, una celosía modular, por lo que estos grupos a veces se denominan grupos modulares [6] (aunque este último término puede tener otros significados).
La suposición en la ley modular para grupos (como se formuló anteriormente) de que Q es un subgrupo de S es esencial. Si Q no es un subgrupo de S , entonces la propiedad distributiva tentativa más general que se puede considerar S ∩ ( QT ) = ( S ∩ Q ) ( S ∩ T ) es falsa . [7] [8]
Producto de subgrupos con intersección trivial
En particular, si S y T se cruzan sólo en la identidad, a continuación, cada elemento de ST tiene una expresión única como un producto st con s en S y T en T . Si S y T también viajan, entonces ST es un grupo y se denomina producto Zappa – Szép . Aún más, si S o T es normal en ST , luego ST coincide con el producto semidirecto de S y T . Por último, si tanto S y T son normales en ST , luego ST coincide con el producto directo de S y T .
Si S y T son subgrupos cuya intersección es el subgrupo trivial (elemento de identidad) y adicionalmente ST = G , entonces S se llama complemento de T y viceversa.
Por un abuso de terminología (localmente inequívoco) , dos subgrupos que se cruzan solo en la identidad (de otro modo obligatoria) a veces se denominan disjuntos . [9]
Producto de subgrupos con intersección no trivial
Una cuestión que surge en el caso de una intersección no trivial entre un subgrupo normal N y un subgrupo K es lo que es la estructura del cociente NK / N . Aunque uno podría estar tentado a "cancelar" N y decir que la respuesta es K , que no es correcta porque un homomorfismo con el núcleo N también "colapso" (mapa 1) todos los elementos de K que resultan ser en N . Por tanto, la respuesta correcta es que NK / N es isomorfo con K / ( N ∩ K ). Este hecho a veces se denomina el segundo teorema del isomorfismo , [10] (aunque la numeración de estos teoremas presenta algunas variaciones entre los autores); También ha sido llamado el teorema del diamante por I. Martin Isaacs debido a la forma del retículo de subgrupos involucrado, [11] y también ha sido llamado la regla del paralelogramo por Paul Moritz Cohn , quien enfatizó la analogía con la regla del paralelogramo para vectores porque en la red de subgrupos resultante los dos lados que se supone representan los grupos cocientes ( SN ) / N y S / ( S ∩ N ) son "iguales" en el sentido de isomorfismo. [12]
El argumento de Frattini garantiza la existencia de un producto de subgrupos (dando lugar a todo el grupo) en un caso donde la intersección no es necesariamente trivial (y por esta última razón los dos subgrupos no son complementos). Más específicamente, si G es un grupo finito con subgrupo normal N , y si P es un Sylow p -subgroup de N , entonces G = N G ( P ) N , donde N G ( P ) denota el normalizador de P en G . (Tenga en cuenta que el normalizador de P incluye P , por lo que la intersección entre N y N G ( P ) es al menos P ).
Generalización a semigrupos
En un semigrupo S, el producto de dos subconjuntos define una estructura de un semigrupo en P (S), el conjunto de potencias del semigrupo S; además, P (S) es un semiring con la suma como unión (de subconjuntos) y la multiplicación como producto de subconjuntos. [13]
Ver también
Referencias
- ^ Adolfo Ballester-Bolinches; Ramon Esteban-Romero; Mohamed Asaad (2010). Productos de grupos finitos . Walter de Gruyter. pag. 1 . ISBN 978-3-11-022061-2.
- ^ W. Keith Nicholson (2012). Introducción al álgebra abstracta (4ª ed.). John Wiley e hijos. Lema 2, pág. 125. ISBN 978-1-118-13535-8.
- ^ Walter Ledermann, Introducción a la teoría de grupos , 1976, Longman, ISBN 0-582-44180-3 , pág. 52
- ↑ a b Nicholson, 2012, Teorema 5, p. 125
- ^ David AR Wallace (1998). Grupos, anillos y campos . Springer Science & Business Media. Teorema 14, pág. 123. ISBN 978-3-540-76177-8.
- ^ Ballester-Bolinches, Esteban-Romero, Asaad, p. 24
- ^ Derek Robinson (1996). Un curso de teoría de grupos . Springer Science & Business Media. pag. 15. ISBN 978-0-387-94461-6.
- ^ Paul Moritz Cohn (2000). Álgebra clásica . Wiley. págs. 248 . ISBN 978-0-471-87731-8.
- ^ L. Fuchs (1970). Grupos abelianos infinitos. Volumen I . Prensa académica. pag. 37. ISBN 978-0-08-087348-0.
- ^ Dan Saracino (1980). Álgebra abstracta: un primer curso . Addison-Wesley. pag. 123 . ISBN 0-201-07391-9.
- ^ I. Martín Isaacs (1994). Álgebra: un curso de posgrado . American Mathematical Soc. pag. 33 . ISBN 978-0-8218-4799-2.
- ^ Paul Moritz Cohn (2000). Álgebra clásica . Wiley. pag. 245 . ISBN 978-0-471-87731-8.
- ^ Jean E. Pin (1989). Propiedades formales de autómatas finitos y aplicaciones: LITP Spring School on Theoretical Computer Science, Ramatuelle, Francia, 23 al 27 de mayo de 1988. Actas . Springer Science & Business Media. pag. 35. ISBN 978-3-540-51631-6.
- Rotman, Joseph (1995). Una introducción a la teoría de grupos (4ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94285-8.