Un número de Friedman es un número entero , que representado en un sistema numérico dado , es el resultado de una expresión no trivial que usa todos sus propios dígitos en combinación con cualquiera de los cuatro operadores aritméticos básicos (+, -, ×, ÷), aditivo inversas , paréntesis, exponenciación y concatenación . Aquí, no trivial significa que se utiliza al menos una operación además de la concatenación. No se pueden usar ceros iniciales, ya que eso también daría como resultado números de Friedman triviales, como 024 = 20 + 4. Por ejemplo, 347 es un número de Friedman en el sistema numérico decimal , ya que 347 = 7 3 + 4. Los números decimales de Friedman son:
- 25, 121, 125, 126, 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1022, 1024, 1206, 1255, 1260, 1285, 1296, 1395, 1435, 1503, 1530, 1792, 1827, 2048, 2187, 2349, 2500, 2501, 2502, 2503, 2504, 2505, 2506, 2507, 2508, 2509, 2592, 2737, 2916, ... (secuencia A036057 en la OEIS ).
Los números de Friedman llevan el nombre de Erich Friedman , un profesor de matemáticas ahora jubilado en la Universidad Stetson , ubicada en DeLand, Florida .
Resultados en base 10
Las expresiones de los primeros números de Friedman son:
número | expresión | número | expresión | número | expresión | número | expresión |
25 | 5 2 | 127 | 2 7 −1 | 289 | (8 + 9) 2 | 688 | 8 × 86 |
121 | 11 2 | 128 | 2 8−1 | 343 | (3 + 4) 3 | 736 | 3 6 +7 |
125 | 5 1 + 2 | 153 | 3 × 51 | 347 | 7 3 +4 | 1022 | 2 10 −2 |
126 | 6 × 21 | 216 | 6 2 + 1 | 625 | 5 6−2 | 1024 | (4−2) 10 |
Un buen número de Friedman es un número de Friedman en el que los dígitos de la expresión se pueden organizar para que estén en el mismo orden que el número en sí. Por ejemplo, podemos organizar 127 = 2 7 - 1 como 127 = −1 + 2 7 . Los primeros números agradables de Friedman son:
- 127, 343, 736, 1285, 2187, 2502, 2592, 2737, 3125, 3685, 3864, 3972, 4096, 6455, 11264, 11664, 12850, 13825, 14641, 15552, 15585, 15612, 15613, 15617, 15618, 15621, 15622, 15623, 15624, 15626, 15632, 15633, 15642, 15645, 15655, 15656, 15662, 15667, 15688, 16377, 16384, 16447, 16875, 17536, 18432, 19453, 19683, 19739 (secuencia A080035 en el OEIS ).
El sitio web de Friedman muestra alrededor de 100 números de Friedman pandigitales sin cero a partir de abril de 2020[actualizar]. Dos de ellos son: 123456789 = ((86 + 2 x 7) 5 - 91) / 3 4 , y 987.654.321 = (8 x (97 + 6/2) 5 + 1) / 3 4 . Solo uno de ellos es bueno: 268435179 = −268 + 4 (3 × 5 - 1 7 ) - 9.
Michael Brand demostró que la densidad de los números de Friedman entre los naturales es 1, [1] lo que quiere decir que la probabilidad de que un número elegido aleatoria y uniformemente entre 1 y n sea un número de Friedman tiende a 1 cuando n tiende a infinito. Este resultado se extiende a los números de Friedman bajo cualquier base de representación. También demostró que lo mismo es cierto también para los números ordenados de Friedman binarios, ternarios y cuaternarios. [2] El caso de los números ordenados de Friedman en base 10 aún está abierto.
Los números de vampiro son un subconjunto de los números de Friedman donde la única operación es una multiplicación de dos números con el mismo número de dígitos, por ejemplo, 1260 = 21 × 60.
Encontrar números Friedman de 2 dígitos
Por lo general, hay menos números Friedman de 2 dígitos que de 3 dígitos y más en una base determinada, pero los de 2 dígitos son más fáciles de encontrar. Si representamos un número de 2 dígitos como mb + n , donde b es la base y m , n son números enteros de 0 a B -1, sólo necesita comprobar cada combinación posible de m y n contra las igualdades mb + n = m n , y mb + n = n m para ver cuáles son verdaderas. No necesitamos preocuparnos por m + n o m × n , ya que estos siempre serán más pequeños que mb + n cuando n < b . Lo mismo se aplica claramente a m - n y m / n .
Otras bases
Resultados generales
En base ,
es un número de Friedman (escrito en base como 1 mk = k × m 1). [3]
En base ,
es un número de Friedman (escrito en base como 100 ... 00200 ... 001 = 100..001 2 , conceros entre cada número distinto de cero). [3]
En base ,
es un número de Friedman (escrito en base como 2 k = k 2 ). A partir de la observación de que todos los números de la forma 2 k × b 2 n pueden escribirse como k 000 ... 000 2 con n 0, podemos encontrar secuencias de números de Friedman consecutivos que son arbitrariamente largos. Por ejemplo, para, o en base 10 , 250068 = 500 2 + 68, de donde podemos deducir fácilmente el rango de números de Friedman consecutivos de 250000 a 250099 en base 10 . [3]
Números de Repdigit Friedman:
- El repdigito más pequeño en base 8 que es un número de Friedman es 33 = 3 3 .
- El repdigito más pequeño en base 10 que se cree que es un número de Friedman es 99999999 = (9 + 9/9) 9−9 / 9 - 9/9. [3]
- Se ha demostrado que los repdigits con al menos 22 dígitos son buenos números de Friedman. [3]
Hay un número infinito de números primos de Friedman en todas las bases, porque para la base los números
- en base 2
- en base 3
- en base 4
- en base 5
- en base 6
para base los números
- en base 7,
- en base 8,
- en base 9,
- en base 10,
y para base
son números de Friedman para todos . Los números de esta forma son una secuencia aritmética, dónde y son relativamente primos independientemente de la base como y son siempre primos relativos y, por lo tanto, según el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas , la secuencia contiene un número infinito de primos.
Duodecimal
En base 12 , los números de Friedman menores de 1000 son:
número | expresión |
121 | 11 2 |
127 | 7 × 21 |
135 | 5 × 31 |
144 | 4 × 41 |
163 | 3 × 61 |
346 | 3 4 × 6 |
368 | 8 6−3 |
376 | 6 × 73 |
441 | (4 + 1) 4 |
445 | 5 4 +4 |
Usando números romanos
En un sentido trivial, todos los números romanos con más de un símbolo son números de Friedman. La expresión se crea simplemente insertando los signos + en el número y, ocasionalmente, el signo - con una ligera reorganización del orden de los símbolos.
Se han realizado algunas investigaciones sobre los números romanos de Friedman para los que la expresión utiliza algunos de los otros operadores. El primer número romano tan agradable que descubrió Friedman fue el 8, ya que VIII = (V - I) × II. Se han encontrado otros ejemplos no triviales.
La dificultad de encontrar números de Friedman no triviales en números romanos aumenta no con el tamaño del número (como es el caso de los sistemas de numeración de notación posicional ) sino con el número de símbolos que tiene. Por ejemplo, es mucho más difícil averiguar si 147 (CXLVII) es un número de Friedman en números romanos que hacer la misma determinación para 1001 (MI). Con los números romanos, al menos se pueden derivar bastantes expresiones de Friedman a partir de cualquier expresión nueva que se descubra. Dado que 8 es un bonito número romano no trivial de Friedman, se deduce que cualquier número que termine en VIII también es un número de Friedman.
Ver también
Referencias
- ^ Michael Brand, "Los números de Friedman tienen densidad 1", Matemáticas aplicadas discretas , 161 (16-17), noviembre de 2013, págs. 2389-2395.
- ^ Michael Brand, "Sobre la densidad de Nice Friedmans", octubre de 2013, https://arxiv.org/abs/1310.2390 .
- ^ a b c d e https://erich-friedman.github.io/mathmagic/0800.html
enlaces externos
- Números de Friedman La enciclopedia en línea de secuencias de enteros
- Los números de Friedman tienen densidad 1 Discrete Applied Mathematics, Vol 161, Issues 16-17, Nov 2013, pp 2389-2395