Una matriz de Frobenius es un tipo especial de matriz cuadrada de las matemáticas numéricas . Una matriz es una matriz de Frobenius si tiene las siguientes tres propiedades:
- todas las entradas en la diagonal principal son unas
- las entradas debajo de la diagonal principal de como máximo una columna son arbitrarias
- cualquier otra entrada es cero
La siguiente matriz es un ejemplo.
Las matrices de Frobenius son invertibles . La inversa de una matriz de Frobenius es nuevamente una matriz de Frobenius, igual a la matriz original con signos cambiados fuera de la diagonal principal. Por lo tanto, la inversa del ejemplo anterior es:
Las matrices de Frobenius llevan el nombre de Ferdinand Georg Frobenius .
El término matriz de Frobenius también se puede usar para una forma de matriz alternativa que difiere de una matriz de identidad solo en los elementos de una sola fila que precede a la entrada diagonal de esa fila (a diferencia de la definición anterior que tiene la matriz que difiere de la matriz de identidad en una sola columna debajo de la diagonal). La siguiente matriz es un ejemplo de esta forma alternativa que muestra una matriz de 4 por 4 con su tercera fila que difiere de la matriz de identidad.
Un nombre alternativo para esta última forma de matrices de Frobenius es matriz de transformación de Gauss , en honor a Carl Friedrich Gauss . [1] Se utilizan en el proceso de eliminación gaussiana para representar las transformaciones gaussianas.
Si una matriz se multiplica desde la izquierda (multiplicada por la izquierda) con una matriz de transformación de Gauss, se agrega una combinación lineal de las filas anteriores a la fila dada de la matriz (en el ejemplo que se muestra arriba, una combinación lineal de las filas 1 y 2 será agregarse a la fila 3). La multiplicación con la matriz inversa resta la combinación lineal correspondiente de la fila dada. Corresponde a una de las operaciones elementales de eliminación gaussiana (además de la operación de trasponer las filas y multiplicar una fila con un múltiplo escalar).
Ver también
- Matriz elemental , un caso especial de una matriz de Frobenius con solo una diagonal distinta de cero
Notas
- ^ Golub y Van Loan, p. 95.
Referencias
- Gene H. Golub y Charles F. Van Loan (1996). Matrix Computations , tercera edición, Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5413-X (tapa dura), ISBN 0-8018-5414-8 ( tapa blanda).