En matemáticas , una matriz elemental es una matriz que se diferencia de la matriz de identidad por una sola operación de fila elemental. Las matrices elementales generan el grupo lineal general GL n ( F ) cuando F es un campo. La multiplicación por la izquierda (pre-multiplicación) por una matriz elemental representa operaciones de fila elementales , mientras que la multiplicación por la derecha (post-multiplicación) representa operaciones de columna elementales .
Las operaciones de fila elementales se utilizan en la eliminación gaussiana para reducir una matriz a la forma escalonada de fila . También se utilizan en la eliminación de Gauss-Jordan para reducir aún más la matriz a una forma escalonada reducida .
Operaciones de fila elementales
Hay tres tipos de matrices elementales, que corresponden a tres tipos de operaciones de fila (respectivamente, operaciones de columna):
- Cambio de fila
- Una fila dentro de la matriz se puede cambiar por otra fila.
- Multiplicación de filas
- Cada elemento de una fila se puede multiplicar por una constante distinta de cero. También se conoce como escalar una fila.
- Adición de filas
- Una fila se puede reemplazar por la suma de esa fila y un múltiplo de otra fila.
Si E es una matriz elemental, como se describe a continuación, para aplicar la operación de fila elemental a una matriz A , se multiplica A por la matriz elemental de la izquierda, EA . La matriz elemental para cualquier operación de fila se obtiene ejecutando la operación en la matriz de identidad . Este hecho puede entenderse como una instancia del lema de Yoneda aplicado a la categoría de matrices.
Transformaciones de cambio de fila
El primer tipo de operación de fila en una matriz A cambia todos los elementos de la matriz en la fila i con sus contrapartes en la fila j . La matriz elemental correspondiente se obtiene intercambiando la fila i y la fila j de la matriz identidad .
Así T ij A es la matriz producida por el intercambio de fila i y la fila j de A .
Propiedades
- La inversa de esta matriz es en sí misma: T ij −1 = T ij .
- Dado que el determinante de la matriz identidad es la unidad, det ( T ij ) = −1. De ello se deduce que para cualquier matriz cuadrada A (del tamaño correcto), tenemos det ( T ij A ) = −det ( A ).
Transformaciones de multiplicación de filas
El siguiente tipo de operación de fila en una matriz A multiplica todos los elementos de la fila i por m, donde m es un escalar distinto de cero (generalmente un número real). La matriz elemental correspondiente es una matriz diagonal, con entradas diagonales 1 en todas partes excepto en la i- ésima posición, donde es m .
Entonces D i ( m ) A es la matriz producida a partir de A al multiplicar la fila i por m .
Propiedades
- La inversa de esta matriz viene dada por D i ( m ) −1 = D i (1 / m ).
- La matriz y su inversa son matrices diagonales .
- det ( D yo ( m )) = m . Por lo tanto, para una matriz cuadrada A (del tamaño correcto), tenemos det ( D i ( m ) A ) = m det ( A ).
Transformaciones de suma de filas
El tipo final de operación de fila en una matriz A suma la fila j multiplicada por un escalar m a la fila i . La matriz elemental correspondiente es la matriz identidad pero con una m en la posición ( i , j ).
Entonces L ij ( m ) A es la matriz producida a partir de A sumando m veces la fila j a la fila i . Y A L ij ( m ) es la matriz producida a partir de A sumando m veces la columna i a la columna j .
Propiedades
- Estas transformaciones son una especie de mapeo de corte , también conocido como transvecciones .
- La inversa de esta matriz está dada por L ij ( m ) −1 = L ij (- m ).
- La matriz y su inversa son matrices triangulares .
- det ( L ij ( m )) = 1. Por lo tanto, para una matriz cuadrada A (del tamaño correcto) tenemos det ( L ij ( m ) A ) = det ( A ).
- Las transformadas de suma de filas satisfacen las relaciones de Steinberg .
Ver también
Referencias
- Axler, Sheldon Jay (1997), Álgebra lineal bien hecha (2a ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
- Lay, David C. (22 de agosto de 2005), Álgebra lineal y sus aplicaciones (3a ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
- Meyer, Carl D. (15 de febrero de 2001), Análisis de matrices y álgebra lineal aplicada , Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archivado desde el original el 31 de octubre de 2009
- Poole, David (2006), Álgebra lineal: una introducción moderna (2a ed.), Brooks / Cole, ISBN 0-534-99845-3
- Anton, Howard (2005), Álgebra lineal elemental (versión de aplicaciones) (9a ed.), Wiley International
- Leon, Steven J. (2006), Álgebra lineal con aplicaciones (7a ed.), Pearson Prentice Hall
- Strang, Gilbert (2016), Introducción al álgebra lineal (5.a ed.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6