En matemáticas, el esquema de grupo fundamental es un esquema de grupo unido canónicamente a un esquema sobre un esquema de Dedekind (por ejemplo, el espectro de un campo o el espectro de un anillo de valoración discreto ). Es una generalización del grupo fundamental étale . Aunque su existencia fue conjeturada por Alexander Grothendieck , la primera construcción se debe a Madhav Nori, [1] [2] quien solo trabajó en esquemas sobre campos. Una generalización de los esquemas sobre los esquemas de Dedekind se debe a Marco Antei, Michel Emsalem y Carlo Gasbarri. [3]
Primera definicion
Dejar ser un campo perfecto y un morfismo fielmente plano y adecuado de esquemas con un esquema reducido y conectado. Suponga la existencia de una sección, luego el esquema de grupo fundamental de en se define como el esquema de grupo afín asociado naturalmente a la categoría neutra tannakiana (más) de paquetes de vectores esencialmente finitos sobre.
Segunda definición
Dejar ser un plan de Dedekind, cualquier esquema conectado reducido y un morfismo fielmente plano de tipo finito (no necesariamente adecuado). Suponga la existencia de una sección. Una vez que probamos que la categoría de isomorfismo clases de torsores sobre (señalado ) bajo la acción de finito y plano - los esquemas grupales están cofiltrados, luego definimos el torsor universal (señalado) como el límite proyectivo de todos los torsores de esa categoría. La-El esquema de grupo que actúa sobre él se denomina esquema de grupo fundamental y se denota por (Cuándo es el espectro de un campo perfecto, las dos definiciones coinciden para que no pueda surgir confusión). La definición se ha generalizado aún más a algunos esquemas no reducidos.
Ver también
Notas
- ^ MV Nori sobre las representaciones del grupo fundamental , Compositio Mathematica, vol. 33, Fasc. 1, (1976), pág. 29-42
- ^ T. Szamuely Galois Grupos y grupos fundamentales. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 117 (2009)
- ^ M. Antei, M. Emsalem, C. Gasbarri, Sur l'existence du schéma en groupes fondamental , Épijournal de Géométrie Algébrique, Volumen 4, (2020)