En matemáticas , un esquema de grupo es un tipo de objeto algebro-geométrico equipado con una ley de composición. Los esquemas de grupo surgen naturalmente como simetrías de esquemas y generalizan grupos algebraicos , en el sentido de que todos los grupos algebraicos tienen una estructura de esquema de grupo, pero los esquemas de grupo no están necesariamente conectados, uniformes o definidos en un campo. Esta generalidad adicional le permite a uno estudiar estructuras infinitesimales más ricas, y esto puede ayudar a comprender y responder preguntas de importancia aritmética. La categoría de esquemas de grupo se comporta algo mejor que la de variedades de grupo , ya que todos los homomorfismos tienen granos, y hay una teoría de la deformación que se comporta bien . Los esquemas de grupo que no son grupos algebraicos juegan un papel importante en la geometría aritmética y la topología algebraica , ya que surgen en contextos de representaciones de Galois y problemas de módulos . El desarrollo inicial de la teoría de los esquemas de grupo se debió a Alexander Grothendieck , Michel Raynaud y Michel Demazure a principios de la década de 1960.
Definición
Un esquema de grupo es un objeto de grupo en una categoría de esquemas que tiene productos de fibra y algunos objeto final S . Es decir, es un S -scheme G equipado con uno de los conjuntos de datos equivalentes
- un triple de morfismos μ: G × S G → G , e: S → G y ι: G → G , satisfaciendo las compatibilidades habituales de grupos (a saber, asociatividad de μ, identidad y axiomas inversos)
- un funtor de esquemas sobre S a la categoría de grupos , de manera que la composición con el functor olvidadizo a conjuntos es equivalente al pregajo correspondiente a G bajo la incrustación de Yoneda . (Véase también: functor de grupo ).
Un homomorfismo de esquemas de grupo es un mapa de esquemas que respeta la multiplicación. Esto se puede expresar con precisión al decir que un mapa f satisface la ecuación f μ = μ ( f × f ), o al decir que f es una transformación natural de functores de esquemas a grupos (en lugar de solo conjuntos).
Una acción izquierda de un esquema de grupo G en un esquema X es un morfismo G × S X → X que induce una izquierda acción del grupo G ( T ) en el conjunto X ( T ) para cualquier S -Esquema T . Las acciones correctas se definen de manera similar. Cualquier esquema de grupo admite acciones naturales de izquierda y derecha en su esquema subyacente mediante multiplicación y conjugación . La conjugación es una acción por automorfismos, es decir, conmuta con la estructura del grupo, y esto induce acciones lineales sobre objetos derivados naturalmente, como su álgebra de Lie y el álgebra de operadores diferenciales invariantes a la izquierda.
Un S -Grupo esquema G es conmutativo si el grupo G ( T ) es un grupo abeliano para todos los S -schemes T . Hay varias otras condiciones equivalentes, como la conjugación que induce una acción trivial o el mapa de inversión ι siendo un automorfismo de esquema de grupo.
Construcciones
- Dado un grupo G , se puede formar el esquema de grupo constante G S . Como esquema, es una unión disjunta de copias de S , y al elegir una identificación de estas copias con elementos de G , se pueden definir los mapas de multiplicación, unidad e inversa por transporte de estructura. Como un funtor, se necesita cualquier S -Esquema T a un producto de copias del grupo G , donde el número de copias es igual al número de componentes conectados de T . G S es afín sobre S si y solo si G es un grupo finito. Sin embargo, se puede tomar un límite proyectivo de esquemas de grupo constante finito para obtener esquemas de grupo lucrativo, que aparecen en el estudio de grupos fundamentales y representaciones de Galois o en la teoría del esquema de grupo fundamental , y estos son afines de tipo infinito. De manera más general, al tomar un haz de grupos localmente constante en S , se obtiene un esquema de grupo localmente constante, para el cual la monodromía en la base puede inducir automorfismos no triviales en las fibras.
- La existencia de productos de fibra de esquemas permite realizar varias construcciones. Los productos directos finitos de los esquemas grupales tienen una estructura canónica de esquemas grupales. Dada una acción de un esquema de grupo sobre otro por automorfismos, uno puede formar productos semidirectos siguiendo la construcción habitual de la teoría de conjuntos. Los núcleos de homomorfismos de esquemas de grupo son esquemas de grupo, tomando un producto de fibra sobre el mapa de unidades desde la base. El cambio de base envía esquemas de grupo a esquemas de grupo.
- Los esquemas grupales pueden formarse a partir de esquemas grupales más pequeños mediante la restricción de escalares con respecto a algún morfismo de esquemas base, aunque se necesitan condiciones de finitud para ser satisfechas para asegurar la representabilidad del functor resultante. Cuando este morfismo se encuentra a lo largo de una extensión finita de campos, se conoce como restricción de Weil .
- Para cualquier grupo abeliano A , se puede formar el grupo diagonalizable correspondiente D ( A ), definido como un funtor estableciendo D ( A ) ( T ) como el conjunto de homomorfismos del grupo abeliano de A a secciones globales invertibles de O T para cada S -Esquema T . Si S es afín, D ( A ) se puede formar como el espectro de un anillo de grupo. Más generalmente, se puede formar grupos de tipo multiplicativo dejando que A sea un fajo no constante de grupos abelianos en S .
- Para un esquema de subgrupo H de un esquema de grupo G , el funtor que lleva un esquema S T a G ( T ) / H ( T ) no es en general una gavilla, e incluso su gavilla no es en general representable como un esquema. Sin embargo, si H es finito, plano y cerrado en G , entonces el cociente es representable y admite una acción canónica de G izquierda por traslación. Si la restricción de esta acción a H es trivial, entonces se dice que H es normal y el esquema del cociente admite una ley de grupo natural. La representabilidad se mantiene en muchos otros casos, como cuando H está cerrado en G y ambos son afines. [1]
Ejemplos de
- El grupo multiplicativo G m tiene la línea afín perforada como su esquema subyacente, y como un funtor, envía un S -esquema T al grupo multiplicativo de secciones globales invertibles de la gavilla de estructura. Puede describirse como el grupo diagonalizable D ( Z ) asociado a los enteros. Sobre una base afín como Spec A , es el espectro del anillo A [ x , y ] / ( xy - 1), que también se escribe A [ x , x −1 ]. El mapa unidad se da mediante el envío de x a uno, la multiplicación se da mediante el envío de x a x ⊗ x , y la inversa se da mediante el envío de x a x -1 . Los toros algebraicos forman una clase importante de esquemas de grupos conmutativos, definidos ya sea por la propiedad de estar localmente en S un producto de copias de G m , o como grupos de tipo multiplicativo asociados a grupos abelianos libres generados finitamente.
- El grupo lineal general GL n es una variedad algebraica afín que puede verse como el grupo multiplicativo de la variedad de anillos de matriz n por n . Como un funtor, envía una S -Esquema T al grupo de invertible n por n matrices cuyas entradas son secciones globales de T . Sobre una base afín, se puede construir como un cociente de un anillo polinomial en n 2 + 1 variables mediante un ideal que codifica la invertibilidad del determinante. Alternativamente, se puede construir usando 2 n 2 variables, con relaciones que describen un par ordenado de matrices mutuamente inversas.
- Para cualquier entero positivo n , el grupo μ n es el núcleo del mapa de potencia n- ésimo de G m a sí mismo. Como funtor, envía cualquier S -esquema T al grupo de secciones globales f de T tal que f n = 1. Sobre una base afín como Spec A , es el espectro de A [x] / ( x n - 1). Si n no es invertible en la base, entonces este esquema no es fluido. En particular, sobre un campo de característica p , μ p no es uniforme.
- El grupo de aditivos G a tiene la línea afín A 1 como esquema subyacente. Como funtor, envía cualquier S -esquema T al grupo aditivo subyacente de secciones globales del haz de estructura. Sobre una base afín como Spec A , es el espectro del anillo polinomial A [ x ]. El mapa unitario se da enviando x a cero, la multiplicación se da enviando x a 1 ⊗ x + x ⊗ 1, y la inversa se da enviando x a - x .
- Si p = 0 en S para algún número primo p , entonces la toma de p- ésima potencia induce un endomorfismo de G a , y el núcleo es el esquema de grupo α p . Sobre una base afín como Spec A , es el espectro de A [x] / ( x p ).
- El grupo de automorfismos de la línea afín es isomorfo al producto semidirecto de G a por G m , donde el grupo aditivo actúa por traslación y el grupo multiplicativo actúa por dilatación. El subgrupo que fija un punto de base elegido es isomorfo al grupo multiplicativo, y tomando el punto de base como la identidad de una estructura de grupo aditivo identifica a G m con el grupo de automorfismo de G a .
- Una curva suave de género uno con un punto marcado (es decir, una curva elíptica ) tiene una estructura de esquema de grupo única con ese punto como identidad. A diferencia de los ejemplos anteriores de dimensión positiva, las curvas elípticas son proyectivas (en particular propiamente dichas).
Propiedades básicas
Suponga que G es un esquema de grupo de tipo finito sobre un campo k . Sea G 0 el componente conectado de la identidad, es decir, el esquema de subgrupo conectado máximo. Entonces G es una extensión de un esquema de grupo étale finito por G 0 . G tiene una máxima reducida subesquema único G rojo , y si k es perfecto, entonces G rojo es una variedad grupo lisa que es un esquema subgrupo de G . El esquema del cociente es el espectro de un anillo local de rango finito.
Cualquier esquema de grupo afín es el espectro de un álgebra de Hopf conmutativa (sobre una base S , esto viene dado por el espectro relativo de un álgebra O S ). Los mapas de multiplicación, unidad e inversa del esquema de grupo están dados por las estructuras de comultiplicación, conteo y antípoda en el álgebra de Hopf. Las estructuras de unidad y multiplicación en el álgebra de Hopf son intrínsecas al esquema subyacente. Para un esquema de grupo arbitrario G , el anillo de secciones globales también tiene una estructura de álgebra de Hopf conmutativa, y al tomar su espectro, se obtiene el grupo de cociente afín máximo. Las variedades de grupos afines se conocen como grupos algebraicos lineales, ya que pueden integrarse como subgrupos de grupos lineales generales.
Los esquemas de grupos conectados completos son en cierto sentido opuestos a los esquemas de grupos afines, ya que la completitud implica que todas las secciones globales son exactamente las que se retiran de la base y, en particular, no tienen mapas no triviales de esquemas afines. Cualquier variedad de grupo completo (variedad aquí significa esquema separado reducido y geométricamente irreductible de tipo finito sobre un campo) es automáticamente conmutativa, por un argumento que involucra la acción de conjugación en espacios de jet de la identidad. Las variedades de grupo completo se denominan variedades abelianas . Esto se generaliza a la noción de esquema abeliano; un esquema de grupo G sobre una base S es abeliano si el morfismo estructural de G a S es adecuado y suave con fibras conectadas geométricamente. Son automáticamente proyectivos y tienen muchas aplicaciones, por ejemplo, en la teoría de campos de clases geométricas y en toda la geometría algebraica. Sin embargo, un esquema de grupo completo sobre un campo no necesita ser conmutativo; por ejemplo, cualquier esquema de grupo finito está completo.
Esquemas de grupos planos finitos
Un esquema de grupo G sobre un esquema noetheriano S es finito y plano si y solo si O G es un módulo O S localmente libre de rango finito. El rango es una función localmente constante en S , y se llama el orden de G . El orden de un esquema de grupo constante es igual al orden del grupo correspondiente y, en general, el orden se comporta bien con respecto al cambio de base y la restricción plana finita de los escalares .
Entre los esquemas de grupos planos finitos, las constantes (véase el ejemplo anterior) forman una clase especial, y sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero, la categoría de grupos finitos es equivalente a la categoría de esquemas de grupos finitos constantes. Sobre bases con característica positiva o estructura más aritmética, existen tipos de isomorfismos adicionales. Por ejemplo, si 2 es invertible sobre la base, todos los esquemas de grupo de orden 2 son constantes, pero sobre los números enteros 2-ádicos, μ 2 no es constante, porque la fibra especial no es suave. Existen secuencias de anillos 2-ádicos altamente ramificados sobre los cuales el número de tipos de isomorfismos de esquemas de grupo de orden 2 crece arbitrariamente. Se puede encontrar un análisis más detallado de esquemas conmutativos de grupos planos finitos sobre anillos p -ádicos en el trabajo de Raynaud sobre prolongaciones.
Los esquemas conmutativos de grupos planos finitos a menudo ocurren en la naturaleza como esquemas de subgrupos de variedades abelianas y semi-abelianas, y en características positivas o mixtas, pueden capturar mucha información sobre la variedad ambiental. Por ejemplo, la p- torsión de una curva elíptica en la característica cero es localmente isomorfa al esquema de grupo abeliano elemental constante de orden p 2 , pero sobre F p , es un esquema de grupo plano finito de orden p 2 que tiene p conectado componentes (si la curva es ordinaria) o un componente conectado (si la curva es supersingular ). Si consideramos una familia de curvas elípticas, la p- torsión forma un esquema de grupo plano finito sobre el espacio de parametrización, y el locus supersingular es donde se conectan las fibras. Esta fusión de componentes conectados se puede estudiar en detalle pasando de un esquema modular a un espacio analítico rígido , donde los puntos supersingulares son reemplazados por discos de radio positivo.
Dualidad Cartier
La dualidad de Cartier es un análogo de la teoría de esquemas de la dualidad de Pontryagin que lleva esquemas de grupos conmutativos finitos a esquemas de grupos conmutativos finitos.
Módulos dieudonné
Los esquemas de grupos conmutativos planos finitos sobre un campo perfecto k de característica positiva p pueden estudiarse transfiriendo su estructura geométrica a un entorno (semi) lineal-algebraico. El objeto básico es el anillo de Dieudonné D = W ( k ) { F , V } / ( FV - p ), que es un cociente del anillo de polinomios no conmutativos, con coeficientes en los vectores de Witt de k . F y V son los operadores de Frobenius y Verschiebung , y pueden actuar de forma no trivial sobre los vectores de Witt. Dieudonne y Cartier construyeron una antiequivalencia de categorías entre esquemas de grupos conmutativos finitos sobre k de orden a potencia de "p" y módulos sobre D con longitud W ( k ) finita. El functor del módulo Dieudonné en una dirección viene dado por homomorfismos en la gavilla abeliana CW de los co-vectores de Witt. Esta gavilla es más o menos dual a la gavilla de vectores de Witt (que de hecho es representable por un esquema de grupo), ya que se construye tomando un límite directo de vectores de Witt de longitud finita bajo mapas de Verschiebung sucesivos V : W n → W n +1 y luego completar. Se pueden ver muchas propiedades de los esquemas de grupo conmutativo examinando los módulos de Dieudonné correspondientes, por ejemplo, los esquemas de grupo p conectados corresponden a módulos D para los cuales F es nilpotente, y los esquemas de grupos étale corresponden a módulos para los cuales F es un isomorfismo.
La teoría de Dieudonné existe en un entorno algo más general que los grupos planos finitos sobre un campo. La tesis de Oda de 1967 proporcionó una conexión entre los módulos de Dieudonné y la primera cohomología de De Rham de variedades abelianas, y aproximadamente al mismo tiempo, Grothendieck sugirió que debería haber una versión cristalina de la teoría que podría usarse para analizar p -grupos divisibles. Las acciones de Galois en los esquemas de grupo se transfieren a través de equivalencias de categorías, y la teoría de deformación asociada de las representaciones de Galois se utilizó en el trabajo de Wiles sobre la conjetura de Shimura-Taniyama .
Ver también
- Teoría invariante
- Teoría geométrica invariante
- Cociente GIT
- Pila de cociente
- esquema grupoide
- Acción de esquema de grupo
- Pila de grupo
Referencias
- ↑ Raynaud, Michel (1967), Passage au quotient par une Relationship d'équivalence plate , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR 0232781
- Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck , eds. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962–64 - Schémas en groupes - (SGA 3) - vol. 1 (Apuntes de clases de matemáticas 151 ) (en francés). Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . págs. xv, 564.
- Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck , eds. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962–64 - Schémas en groupes - (SGA 3) - vol. 2 (Apuntes de clases de matemáticas 152 ) (en francés). Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . págs. ix, 654.
- Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck , eds. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962–64 - Schémas en groupes - (SGA 3) - vol. 3 (Apuntes de clases de matemáticas 153 ) (en francés). Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . págs. vii, 529.
- Gabriel, Peter; Demazure, Michel (1980). Introducción a la geometría algebraica y los grupos algebraicos . Ámsterdam: Pub de Holanda Septentrional. Co. ISBN 0-444-85443-6.
- Berthelot, Breen, Messing Théorie de Dieudonné Crystalline II
- Laumon, Transformación de Fourier généralisée
- Shatz, Stephen S. (1986), "Esquemas grupales, grupos formales y grupos p- divisibles", en Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. (eds.), Geometría aritmética (Storrs, Conn., 1984) , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 29–78, ISBN 978-0-387-96311-2, MR 0861972
- Serre, Jean-Pierre (1984), Groupes algébriques et corps de classes , Publications de l'Institut Mathématique de l'Université de Nancago [Publicaciones del Instituto de Matemáticas de la Universidad de Nancago], 7, París: Hermann, ISBN 978-2-7056-1264-1, MR 0907288
- John Tate , esquemas de grupos planos finitos , de Modular Forms y el último teorema de Fermat
- Waterhouse, William (1979), Introducción a los esquemas de grupos afines , Textos de posgrado en matemáticas, 66 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-6217-6 , ISBN 978-0-387-90421-4, MR 0547117