En matemáticas , una categoría tannakiana es un tipo particular de categoría monoidal C , equipada con alguna estructura adicional relativa a un campo K dado . El papel de tales categorías C es aproximar, en cierto sentido, la categoría de representaciones lineales de un grupo algebraico G definido sobre K . Se han realizado una serie de aplicaciones importantes de la teoría, o podrían realizarse en la búsqueda de algunas de las conjeturas centrales de la geometría algebraica contemporánea y la teoría de números .
El nombre está tomado de la dualidad Tadao Tannaka y Tannaka-Kerin , una teoría sobre los grupos compactos G y su teoría de la representación. La teoría se desarrolló primero en la escuela de Alexander Grothendieck . Más tarde fue reconsiderado por Pierre Deligne , y se hicieron algunas simplificaciones. El patrón de la teoría es el de la teoría de Galois de Grothendieck , que es una teoría sobre representaciones de permutación finita de grupos G que son grupos profinitos .
La esencia de la teoría, que es bastante elaborada en detalle en la exposición de Saavedra Rivano, es que el funtor de fibra Φ de la teoría de Galois es reemplazado por un functor tensorial T de C a K-Vect . El grupo de transformaciones naturales de Φ a sí mismo, que resulta ser un grupo lucrativo en la teoría de Galois, es reemplazado por el grupo ( a priori sólo un monoide ) de transformaciones naturales de T en sí mismo, que respetan la estructura tensorial. Este no es por naturaleza un grupo algebraico, sino un límite inverso de grupos algebraicos (grupo pro-algebraico ).
Definicion formal
Una categoría tannakiana neutra es una categoría tensorial abeliana rígida , de modo que existe un funtor de tensores K para la categoría de espacios de vectores K de dimensión finita que es exacto y fiel . [1]
Aplicaciones
La construcción se utiliza en los casos en que una estructura de Hodge o una representación l-ádica debe considerarse a la luz de la teoría de la representación de grupo. Por ejemplo, el grupo Mumford-Tate y el grupo motívico de Galois pueden recuperarse potencialmente de un grupo de cohomología o módulo de Galois , por medio de una categoría tannakiana mediadora que genera.
Esas áreas de aplicación están estrechamente relacionadas con la teoría de los motivos . Otro lugar en el que se han utilizado las categorías tannakianas es en relación con la conjetura de la curvatura p de Grothendieck-Katz ; en otras palabras, en grupos de monodromía delimitadores .
La equivalencia de Satake geométrico establece una equivalencia entre representaciones del grupo dual de Langlandsde un grupo reductor G y cierta equivariante perversa poleas en la Grassmannian afín asociado a G . Esta equivalencia proporciona una construcción no combinatoria del grupo dual de Langlands. Se demuestra mostrando que la categoría mencionada de gavillas perversas es una categoría tannakiana e identificando su grupo dual Tannaka con.
Extensiones
Wedhorn (2004) ha establecido resultados parciales de dualidad de Tannaka en una situación en la que la categoría es R- lineal, donde R ya no es un campo (como en la dualidad clásica de Tannaka), sino ciertos anillos de valoración . Duong & Hai (2017) mostró un resultado de dualidad de Tannaka si R es un anillo de Dedekind .
Iwanari (2014) ha iniciado el estudio de la dualidad Tannaka en el contexto de categorías infinitas .
Referencias
- ^ Deligne y Milne (1982)
- Deligne, Pierre (2007) [1990], "Catégories tannakiennes" , The Grothendieck Festschrift , II , Birkhauser, págs. 111-195, ISBN 9780817645755
- Deligne, Pierre ; Milne, James (1982), "Categorías tannakianas" , en Deligne, Pierre; Milne, James; Ogus, Arthur; Shih, Kuang-yen (eds.), Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties , Lecture Notes in Mathematics, 900 , Springer, págs. 101–228, ISBN 978-3-540-38955-2
- Duong, Nguyen Dai; Hai, Phùng Hô (2017), dualidad tannakiana sobre anillos y aplicaciones de Dedekind , arXiv : 1311.1134v3
- Iwanari, Isamu (2014), dualidad de Tannaka y categorías infinitas estables , arXiv : 1409.3321 , doi : 10.1112 / topo.12057
- Saavedra Rivano, Neantro (1972), Catégories Tannakiennes , Lecture Notes in Mathematics, 265 , Springer, ISBN 978-3-540-37477-0, MR 0338002
- Wedhorn, Torsten (2004), "Sobre la dualidad tannakiana sobre los anillos de valoración", Journal of Algebra , 282 (2): 575–609, doi : 10.1016 / j.jalgebra.2004.07.024 , MR 2101076
Otras lecturas
- M. Larsen y R. Pink. Determinación de representaciones a partir de dimensiones invariantes. Inventar. matemáticas. 102: 377–389, 1990.