Número bicomplejo

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En álgebra abstracta , un número bicomplejo es un par ( w , z ) de números complejos construidos por el proceso de Cayley-Dickson que define el conjugado bicomplejo y el producto de dos números bicomplejos como${\ estilo de visualización (w, z) ^ {*} = (w, -z)}$

Los números bicomplejos forman un álgebra conmutativa sobre C de dimensión dos, que es isomorfa a la suma directa de álgebras C ⊕ C .

El producto de dos números bicomplejos produce un valor de forma cuadrática que es el producto de las formas cuadráticas individuales de los números: una verificación de esta propiedad de la forma cuadrática de un producto se refiere a la identidad de Brahmagupta-Fibonacci . Esta propiedad de la forma cuadrática de un número bicomplejo indica que estos números forman un álgebra de composición . De hecho, los números bicomplejos surgen en el nivel binario de la construcción de Cayley-Dickson basada en la norma z ² .${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$

El número bicomplejo general puede ser representado por la matriz , que tiene determinante . Así, la propiedad de composición de la forma cuadrática coincide con la propiedad de composición del determinante.${\displaystyle {\begin{pmatrix}w&iz\\iz&w\end{pmatrix}}}$ ${\ estilo de visualización w^{2}+z^{2}}$

Los números bicomplejos forman un álgebra sobre C de dimensión dos, y dado que C es de dimensión dos sobre R , los números bicomplejos son un álgebra sobre R de dimensión cuatro. De hecho, el álgebra real es más antigua que la compleja; se denominó tessarines en 1848, mientras que el álgebra compleja no se introdujo hasta 1892.

Una base para el álgebra de 4 tesarina sobre R especifica z = 1 y z = − i , dando las matrices , que se multiplican de acuerdo con la tabla dada. Cuando la matriz identidad se identifica con 1, entonces una tessarina t = w + zj .${\displaystyle k={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \ j={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

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