En matemáticas , una composición álgebra A lo largo de un campo K es un no necesariamente asociativa álgebra sobre K junto con un no degenerada forma cuadrática N que satisface
para todos los x y y en A .
Un álgebra de composición incluye una involución llamada conjugación : La forma cuadrática se llama la norma del álgebra.
Un álgebra de composición ( A , ∗, N ) es un álgebra de división o un álgebra dividida , dependiendo de la existencia de un v distinto de cero en A tal que N ( v ) = 0, llamado vector nulo . [1] Cuando x no es un vector nulo, el inverso multiplicativo de x es. Cuando hay un vector nulo distinto de cero, N es una forma cuadrática isotrópica y "el álgebra se divide".
Teorema de estructura
Cada álgebra de composición unital sobre un campo K se puede obtener mediante la aplicación repetida de la construcción de Cayley-Dickson a partir de K (si la característica de K es diferente de 2 ) o una subálgebra de composición bidimensional (si char ( K ) = 2 ) . Las posibles dimensiones de un álgebra de composición son 1 , 2 , 4 y 8 . [2] [3] [4]
- Las álgebras de composición unidimensionales solo existen cuando char ( K ) ≠ 2 .
- Las álgebras de composición de dimensión 1 y 2 son conmutativas y asociativas.
- Álgebras Composición de dimensión 2 son o bien extensiones de campo cuadráticas de K o isomorfo a K ⊕ K .
- Las álgebras de composición de dimensión 4 se denominan álgebras de cuaterniones . Son asociativas pero no conmutativas.
- Las álgebras de composición de dimensión 8 se denominan álgebras de octoniones . No son asociativos ni conmutativos.
Para una terminología coherente, las álgebras de dimensión 1 se han denominado unarion y las de dimensión 2 binarion . [5]
Instancias y uso
Cuando el campo K se toma como números complejos C y la forma cuadrática z 2 , entonces cuatro álgebras de composición sobre C son el mismo C , los números bicomplejos , los biquaternions (isomorfos al anillo de matriz compleja 2 × 2 M (2, C ) ) y las bioctoniones C ⊗ O , que también se denominan octoniones complejos.
El anillo matricial M (2, C ) ha sido durante mucho tiempo un objeto de interés, primero como biquaternions de Hamilton (1853), más tarde en la forma de matriz isomórfica, y especialmente como álgebra de Pauli .
La función de elevación al cuadrado N ( x ) = x 2 en el campo de números reales forma el álgebra de composición primordial. Cuando el campo K se toma como números reales R , entonces solo hay otras seis álgebras de composición real. [3] : 166 En dos, cuatro y ocho dimensiones hay un álgebra de división y un "álgebra dividida":
- binarios: números complejos con forma cuadrática x 2 + y 2 y números complejos divididos con forma cuadrática x 2 - y 2 ,
- cuaterniones y cuaterniones divididos ,
- octoniones y octoniones divididos .
Cada álgebra de composición tiene una forma bilineal asociada B ( x, y ) construida con la norma N y una identidad de polarización :
Historia
Varios autores tempranos señalaron la composición de las sumas de cuadrados. Diofanto era consciente de la identidad que implica la suma de dos cuadrados, ahora llamada identidad Brahmagupta-Fibonacci , que también se articula como una propiedad de las normas euclidianas de números complejos cuando se multiplican. Leonhard Euler discutió la identidad de cuatro cuadrados en 1748, lo que llevó a WR Hamilton a construir su álgebra de cuaterniones de cuatro dimensiones . [5] : 62 En 1848 se describieron tessarines dando la primera luz a números bicomplejos.
Alrededor de 1818, el erudito danés Ferdinand Degen mostró la identidad de ocho cuadrados de Degen , que más tarde se conectó con las normas de los elementos del álgebra octonion :
- Históricamente, el primer álgebra no asociativa, los números de Cayley ... surgieron en el contexto del problema de la teoría numérica de las formas cuadráticas que permiten la composición ... esta cuestión de la teoría numérica puede transformarse en una relativa a ciertos sistemas algebraicos, las álgebras de composición. .. [5] : 61
En 1919, Leonard Dickson avanzó en el estudio del problema de Hurwitz con un estudio de los esfuerzos realizados hasta esa fecha y mostrando el método de duplicar los cuaterniones para obtener números de Cayley . Introdujo una nueva unidad imaginaria e , y para los cuaterniones q y Q escribe un número de Cayley q + Q e . Denotando el cuaternión conjugado por q ′ , el producto de dos números de Cayley es [7]
El conjugado de un número de Cayley es q ' - Q e , y la forma cuadrática es qq ′ + QQ ′ , que se obtiene al multiplicar el número por su conjugado. El método de duplicación se ha denominado construcción Cayley-Dickson .
En 1923 el caso de las álgebras reales con formas definidas positivas fue delimitado por el teorema de Hurwitz (álgebras de composición) .
En 1931, Max Zorn introdujo una gamma (γ) en la regla de multiplicación en la construcción de Dickson para generar octoniones divididos . [8] Adrian Albert también usó la gamma en 1942 cuando mostró que la duplicación de Dickson se podía aplicar a cualquier campo con la función de cuadratura para construir álgebras binarion, cuaternión y octonión con sus formas cuadráticas. [9] Nathan Jacobson describió los automorfismos de las álgebras de composición en 1958. [2]
Las álgebras de composición clásicas sobre R y C son álgebras unitales . Las álgebras de composición sin una identidad multiplicativa fueron encontradas por HP Petersson ( álgebras de Petersson ) y Susumu Okubo ( álgebras de Okubo ) y otros. [10] : 463–81
Ver también
- Cuadrado mágico de Freudenthal
- Forma de pfister
- Triality
Referencias
- ^ Springer, TA ; FD Veldkamp (2000). Octoniones, álgebras de Jordan y grupos excepcionales . Springer-Verlag . pag. 18. ISBN 3-540-66337-1.
- ^ a b Jacobson, Nathan (1958). "Álgebras de composición y sus automorfismos". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 7 : 55–80. doi : 10.1007 / bf02854388 . Zbl 0083.02702 .
- ^ a b Guy Roos (2008) "Dominios simétricos excepcionales", §1: Álgebras de Cayley, en Symmetries in Complex Analysis de Bruce Gilligan y Guy Roos, volumen 468 de Contemporary Mathematics , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4459-5
- ^ Schafer, Richard D. (1995) [1966]. Una introducción a las álgebras no asociativas . Publicaciones de Dover . págs. 72–75 . ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601 .
- ↑ a b c Kevin McCrimmon (2004) A Taste of Jordan Algebras , Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 SEÑOR2014924
- ^ Arthur A. Sagle y Ralph E. Walde (1973) Introducción a los grupos de mentiras y álgebras de mentiras , páginas 194-200, Academic Press
- ^ Dickson, LE (1919), "Sobre los cuaterniones y su generalización y la historia del teorema de los ocho cuadrados", Annals of Mathematics , Segunda serie, Annals of Mathematics, 20 (3): 155-171, doi : 10.2307 / 1967865 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1967865
- ^ Max Zorn (1931) "Alternativekörper und quadratische Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 9 (3/4): 395–402
- ^ Albert, Adrian (1942). "Formas cuadráticas que permiten la composición". Annals of Mathematics . 43 : 161-177. doi : 10.2307 / 1968887 . Zbl 0060.04003 .
- ^ Max-Albert Knus, Alexander Merkurjev , Markus Rost , Jean-Pierre Tignol (1998) "Composición y trialidad", capítulo 8 en El libro de las involuciones , págs. 451–511, Publicaciones del coloquio v 44, Sociedad matemática estadounidenseISBN 0-8218-0904-0
Otras lecturas
- Faraut, Jacques; Korányi, Adam (1994). Análisis sobre conos simétricos . Monografías matemáticas de Oxford. The Clarendon Press, Oxford University Press, Nueva York. págs. 81–86. ISBN 0-19-853477-9. Señor 1446489 .
- Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre campos . Estudios de Posgrado en Matemáticas . 67 . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023 .
- Harvey, F. Reese (1990). Spinors y Calibraciones . Perspectivas en Matemáticas. 9 . San Diego: Prensa académica . ISBN 0-12-329650-1. Zbl 0694.53002 .